Elipse I

Autor:
Profe Rubén
Tema:
Construcciones, Elipse, Geometría

NOTA INICIAL

Ejercicio sugerido en Construcción 2.4 de MANUAL PARA GEOGEBRA Guías para geometría dinámica, animaciones y deslizadores [Alexánder Borbón A.]

Ejercicio propuesto

Al finalizar la Construcción 2.4 (Párabola como lugar geométrico) se proponía lo siguiente: "Si se tienen dos puntos llamados focos y se sabe que la elipse está definida por los puntos que cumplen que la suma de la distancia del punto a los focos es constante, construya una elipse." Conviene clarificar un poco más la cuestión, trayendo a colación los siguientes conceptos (extractados de Wikipedia):

"Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:"
NOTA: En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Vamos a necesitar refrescar algunos elementos más...

Elementos gráficos de la elipse

  • El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). (En la circunferencia los focos coinciden con el centro).
  • Los focos se suelen nombrar con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos, F1 - F2, o F' - F" .
  • El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y el diámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denomina c.
  • Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.

También vamos a usar el concepto de excentricidad:
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno. 

Construcción paso a paso

Vamos a basar la construcción de nuestra elipse tomando como punto de partida el valor del semieje mayor a, y el de su excentricidad ε ; a partir de los mismos se pueden determinar los restantes valores.
  1. Active la herramienta Nuevo Punto Toolbar Image y construya un punto O centro de la elipse; moviendo dicho punto se moverá toda la elipse en su conjunto. Nota: Para cambiarle el nombre al punto se hace clic derecho sobre él y se escoje la opción Propiedades..., en la lengüeta Básico se le cambia el nombre.
  2. Insertar dos deslizadores a y ξ con la herramienta Toolbar Image, que permitirán al usuario modificar las dimensiones del semieje mayor (de 0 a 10), y la excentricidad (entre 0 a 1).
  3. Vamos a determinar los dos puntos foco usando la barra de entrada; escribimos: F1= (x(O) - ξ*a,y(O)) y F2= (x(O) + ξ*a,y(O))
  4. Como vamos a emplear la idea de lugar geométrico para construir la elipse, necesitaremos una magnitud variable tal como se muestra en el gráfico superior; usaremos el radio vector asociado al foco F1 (línea azul), y llamaremos a su valor l1. El deslizador tendrá un valor mínimo y uno máximo dependientes de las dos variables anteriores: l1 mín: a (1 - ξ) l1 max: a (1 + ξ)
  5. Active la herramienta Toolbar Image Circunferencia dado su Centro y uno de sus Puntos y construya una circunferencia c1 de radio l1 y centro F1 .
  6. Haga una segunda circunferencia c2 de radio ( 2a - l1 ) y centro F2. Este radio representa el valor l2 del otro radio vector (el asociado al foco F2).
  7. Vamos a determinar los dos puntos A y B de intersección entre ambas circunferencias usando la barra de entrada; escribimos: Interseca(c1, c2) Recordemos que por la definición, ambos puntos pertenecerán a la elipse buscada
  8. Escoja la herramienta Toolbar Image Lugar Geométrico para construir el lugar que se forma por el punto A cuando el deslizador l1 (representando al primer radio vector) cambie de valor: tendremos así la parte superior de la elipse.
  9. Repetiremos lo mismo pero tomando como base el punto B: conseguiremos ahora la parte inferior de la elipse.
  10. Opcionalmente podemos crear dos segmentos l1 y l2 que permitan visualizar la suma asociada a los radio vectores (cuando se mueve el punto A), y un texto que muestre que la suma de ambos segmentos es constante e igual a 2a.

Elipse (lugar geométrico)

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