Разбор планиметрической задачи № 4.
Источник
По материалам сборника «Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ.» Учебное пособие. / А. В. Семенов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Кукса. — Москва: Интеллект-Центр, 2015. — 128 с.
Условие ( Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное пособие., стр. 87)
Сторона прямоугольника касается некоторой окружности в точке . Продолжение стороны пересекает окружность в точках и , причём точка лежит между точками и . Прямая касается окружности, а точка лежит на прямой .
а) Докажите, что .
б) Известно, что и . Найдите сторону .
Подготовительный материал:
I. Параллельные прямые и их свойства.
Параллельные прямые и их свойства
II. Угол между касательной и хордой (Геометрия. 10—11 классы, стр. 187). Изучение материала.
Теорема 1. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги,
на которую он опирается.
Определение (Геометрия. 7-9 классы, стр. 166): Прямая, имеющая с
окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
Свойство: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Касательная к окружности.
Вписанный угол
Теорема 2 (Геометрия. 10—11 классы, стр. 187). Угол между
касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной
заключенной в нем дуги.
Угол между касательной и хордой
Доказательство:
1)Рассмотрим оркужность с центром в точке О, произвольного радиуса. Пусть из точки C к данной окружности проведена касательная в точку В. Проведем произвольную хорду BD. В теореме просят доказать, что получившийся угол DBC измеряется половиной , находящейся внутри данного угла.
2) Проведем диаметр BA и рассмотрим . является вписанным, а значит, равен половине центрального угла , опирающего на туже дугу. Т.е. .
3) Докажем теперь, что угол . Обозначим угол . Заметим, что , как вписанный угол опирающийся на диаметр. Тогда (по сумме углов ). А так как, угол между касательной и радиусом в точку касания также равен , то получаем следующее равенство:
.
Теорема доказана, однако, лишь в частном случае, когда острый. Рассмотрите, пожалуйста, выше указанный чертеж или его интереактивный вариант. Перенесите точку D на правую часть дуги и докажите верность данной теоремы и для полученного случая. (Подсказка: удобнее всего использовать знания о сумме смежных углов).