El número de oro en los polinomios de cuarto grado

Consideremos una función polinómica de cuarto grado con dos puntos de inflexión A y B, y sean C y D los puntos de corte de la función con la recta que une A y B. Entonces:
  1. Los segmentos CA y BD son iguales.
  2. La razón del segmento AB al segmento BD es el número áureo 

Visualización

  • Podemos modificar la posición de los puntos de inflexión A y B que, por comodidad, siempre tendrán coordenadas enteras.
  • Pulsando en Toolbar Image podemos mover la vista gráfica, y si además arrastramos alguno de los ejes, cambiaremos su escala.
  • También podemos mover la vista gráfica arrastrándola con el ratón, y podemos hacer zoom con su rueda.

Cuestiones

  • Dados los puntos A y B (y el coeficiente principal del polinomio), ¿cómo podemos construir el polinomio de grado 4 que tiene esos puntos de inflexión?
  • Indicaciones:
    1. Para comenzar a construir el polinomio, podemos calcular primitivas.
    2. Dados dos puntos de un polinomio (por ejemplo de grado 4), investiga qué ocurre con la pendiente de la recta que los une si sumamos al polinomio una función afín (grado 1).
    3. A partir de la primitiva calculada en el paso 1, intenta transformarla en un polinomio que pase por A y B, utilizando la información obtenida en el paso 2 y una traslación.
  • Usa también la información obtenida en las indicaciones anteriores para razonar que la demostración del teorema se puede reducir al caso en que A y B son simétricos respecto el eje y. (Lo cual hace que el primer apartado sea inmediato).

Basado en una actividad de Jose Mª Chacón Íñigo (@chacon_sevilla) en CASIO News de Marzo 2019.

Amplía conocimientos

Además, podemos investigar más propiedades para estos polinomios de 4º grado con dos puntos de inflexión:
  1. Siempre hay una transformación afín que nos permite pasar de uno a otro. Es consecuencia de lo que ya sabemos. Podemos transformar uno cualquiera en otro simétrico respecto el "eje y", con los puntos de inflexión donde queramos. Indicaciones:
    • Hemos visto que, sumando una función de grado 1, y realizando un desplazamiento, los transformamos en uno simétrico respecto el "eje y", con los puntos de inflexión situados a la altura que necesitemos.
    • Un cambio de escala en el "eje x" nos permite situar esos puntos de inflexión en el valor "x" que queramos.
    • Por último, podemos ajustar el coeficiente principal, multiplicando por un número (cambio de escala en "eje y".
  2. En consecuencia, todas las propiedades invariantes por transformaciones afines (áreas, proporciones, paralelismo...), se mantienen. Y por tanto:
    • Las áreas limitadas por la recta y el polinomio a izquierda y derecha de A, B son iguales. Además, entre ambas son iguales al área central.
    • Las rectas tangentes a los extremos del polinomio son paralelas a la recta.
    La demostración es directa, pues son evidentes para los polinomios que sean simétricos respecto el "eje y".
  3. Relación con el número áureo: bastará con probarlo para uno cualquiera de los polinomios. Elegiremos uno sencillo.
    • Por ejemplo, x4-6x2+5=(x+1)(x-1)(x2-5), cuyos puntos de inflexión son A(-1,0) y B(1,0) y la recta que los une es el "eje x". Al cortar la función con el "eje x", resultan los puntos C(-,0), A(-1,0), B(1,0) y D(,0).
    • Por tanto, |AB|=2, |BD|=-1, con lo que .

Estas propiedades referentes a las transformaciones afines están tomadas de la construcción www.geogebra.org/m/qhHRKGxS, de Ignacio Larrosa Cañestro.