Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt berechnen
Zusammenfassung
Die Nullstellen einer Funktion sind die Punkte, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An diesen Punkten ist . wir setzen also die Funktionsgleichung "gleich null" und lösen nach auf. Für verschiedene Funktionsgleichungen gibt es verschiedene Lösungsverfahren. In dieser Aufgabe berechnen wir die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist. Man erhält eine Gleichung der Form (das heißt: ):Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Wurzel ab. Dieser Term heißt Diskriminante und wird mit bezeichnet. Es gilt:
- ausklammern
- Satz vom Nullprodukt anwenden, um in jedem Faktor die Lösung für einzeln zu bestimmen.
- : hat zwei Nullstellen
- : hat eine (doppelte) Nullstelle
- : hat keine Nullstelle
Video: Nullstellen berechnen mit dem Satz vom Nullprodukt
Berechne die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt
Verallgemeinerung für ganzrationale Funktionen
Die obigen Erklärungen für die Parabel können ohne weiteres auf ganzrationale Funktionen übertragen werden (immerhin ist die Parabel eine ganzrationale Funktion mit Grad 2). Auch hier gilt: Erst ausklammern, dann die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen:
Beispiel
Aufgabe: Sei . Gib die Nullstellen der Funktion an.
Lösung: ausklammern
Satz vom Nullprodukt
oder
Daraus folgen die Nullstellen .
Beispiel 2
Aufgabe: Sei . Gib die Nullstellen der Funktion an.
Lösung: Beachte, dass nicht immer nur ausgeklammert wird. Stattdessen klammert man die höchstmögliche Potenz aus, in diesem Fall . Zusätzlich kann man, sofern passend, noch einen Koeffizienten ausklammern. In diesem Fall kann ausgeklammert werden:
Ausklammern
Satz vom Nullprodukt
oder .
Dies kann nun wieder mit bekannten Verfahren (wie der pq-Formel) gelöst werden.
pq-Formel üben
Da die pq-Formel von höchster Wichtigkeit in der gesamten Oberstufe ist, folgt nun ein Blatt zum Üben dieser.