Obecná gnómonická projekce

Téma:
Geometrie
U obecné gnómonické projekce volíme průmětnu jako tečnou rovinu v obecném bodě kulové plochy (s výjimkou jižního/severního pólu a bodů na rovníku, které byly popsány v předešlých dvou kapitolách). Osa rotace je tedy různoběžná a průmětnou. Průmětem rovníku je přímka. Průmětem ostatních rovnoběžek jsou kuželosečky (podle polohy rovnoběžky). O který typ kuželosečky se jedná se rozhoduje na základě vlastností a principu středového promítání. Průmětem poledníků je svazek přímek se středem v průsečíku kulové plochy a osy rotace.

Postup konstrukce

1. Obecná gnómonická projekce je dána průmětem rovníku r0, nultého poledníku p0 a sklopenou promítací rovinou p0. Konstrukce rovnoběžek: Do promítací roviny osy pravoúhle promítneme všechny rovnoběžky a zobrazíme ve sklopení. Středovým průmětem krajních bodů úsečky získáme hlavní vrcholy kuželosečky. Ohniska jsou body dotyku kulové plochy vepsané do promítací kuželové plochy rovnoběžky a dotýkající se průmětny (Quételet-Dandelinova věta). 2. Zobrazí-li se právě jeden bod rovnoběžky do nevlastního bodu, je průmětem parabola. Středovým průmětem druhého krajního bodu je vrchol. Ve sklopení sestrojíme kružnici vepsanou do obrysových površek promítacího kužele a průmětny. Bod dotyku s průmětnou je ohniskem. 3. Rovnoběžky zeměpisné šířky větší než rovnoběžka zobrazená do paraboly se zobrazí jako elipsy. 4. Ohniska elipsy zkonstruujeme pomocí dotykových kulových ploch - viz. krok 2. Elipsa je tím jednoznačně určena. 5. Rovnoběžky zeměpisné šířky menší než rovnoběžka zobrazená do paraboly se zobrazí jako hyperboly. 6. Ohniska hyperboly zkonstruujeme pomocí dotykových kulových ploch - viz. krok 2. Konstrukce poledníků: Ve gnómonické projekci se všechny ortodromy zobrazí jako přímky. Poledník určíme pólem a bodem na rovníku. 7. Poledníky pravoúhle promítneme do roviny rovníku a tu následně otočíme do průmětny. Do roviny rovníku se poledníky zobrazí jako poloměry rovníku. 8. Zeměpisnou délku odměříme ve skutečné velikosti a průsečík poledníku s rovníkem středově promítneme na průmět rovníku r0. 9. Průsečíkem s rovníkem a průmětem pólu je průmět poledníku určen jednoznačně.