Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben

Csóti Beáta tanárnőtől Szilassi Lajos tanár úr közvetítésével jutott el hozzám a következő probléma: Egy háromszög oldalainak hossza 4, 5. 6 egység. Milyen hosszú a leghosszabb oldallal szemközti csúcsra illeszkedő belső szögfelező szakasz? A válaszom az volt, hogy a koszinusztétel és a szögfelező tétel alkalmazásával megmutatható (https://www.geogebra.org/m/apmwcmtx), hogy (1). Kiderült, hogy a feladatot tizedik osztályosoknak tűzték ki, így a koszinusztétel nem alkalmazható. És egy érdekesség is megállapítható:
Úgy tűnik, hogy - a fenti fájl jelöléseit használva - a egyenlőszárú. Ez az eredmény sejteti, hogy léteznie kell egy elemi geometriai megoldásnak, de ezt - egyelőre - nem találtuk. Egy tizedikesektől elvárható megoldás azért van. Ennek lényege, hogy az (1) összefüggést koszinusztétel helyett Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk meg:
A fenti számolást az alábbi GeoGebra CAS fájl végzi el.
Érdekes kérdés, hogy mikor egyenlőszárú a . Ezt vizsgálja a következő GeoGebra CAS fájl, ami a korábbi jelöléseket használja.
A kiinduló problémában szereplő háromszög oldalai eleget tesznek az itt kapott feltételnek.