El problema de Alhazen
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema(s):
- Circunferencia, Geometría, Hipérbola, Reflejo o Reflexión
Éste problema, resuelto por Alhazen en el s. XI aunque ya fue planteado por Ptolomeo en el 150 d.c., consiste en determinar el punto de un espejo circular c en que debe reflejarse un rayo luminoso para ir desde un punto A a otro B. Ambos puntos pueden estar dentro o fuera de la circunferencia c.
La solución que se presenta aquí se debe a Christian Huygens. Halla los posibles puntos de reflexión, hasta 4, como intersección de la circunferencia c con una hipérbola equilátera ω, cuyo centro es el punto medio M de los inversos A' y B' de los puntos A y B, y que pasa por A', B' y el centro O de c., lo que es suficiente para determinarla. Sus asíntotas son las paralelas por M a las bisectrices del ∠AOB. La hipérbola también pasa por tanto por el simétrico de O respecto de M y por el simétrico de cualquiera de esos cuatro puntos respecto a las asíntotas.
Los puntos de intersección (0,1, 2, 3 o 4) no siempre se corresponden con puntos de reflexión: es necesario que A y B estén del mismo lado respecto a un arco de circunferencia que pase por el punto de intersección. Es decir, que el candidato a trayecto del rayo no atraviese a la circunferencia en el punto de reflexión.
En el caso general no puede resolverse con regla y compás, pues el sistema de dos ecuaciones de 2º grado con dos incógnitas correspondiente a la circunferencia y la hipérbola, conduce a una ecuación de 4º grado en cualquiera de las coordenadas. Hay situaciones particulares, como cuando A y B están en un mismo diámetro, en las que si es posible.
Puede pararse/reiniciarse la animación con el control de la esquina inferior izquierda, así como desplazarse los puntos A y O.
Claudio Ptolomeo (Ptolemaida
Hermia, c. 100 d.c. - Canopo, c. 170 d.c.) fue un matemático astrónomo y geógrafo egipcio.
Alhazen o Alhacén (Basora, actual Irak, 1 de julio de 965 – El Cairo, Egipto, 6 de marzo de 1040), cuyo nombre real era Abū ‘Alī al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytam, fue un astrónomo, físico y matemático árabe.
Christian Huygens (La Haya, 14 de abril de 1629 - ibídem, 8 de julio de 1695), fue un astrónomo, físico y matemático neerlandés.