Die trignometrischen Funktionen
- Autor:
- Florian Rudolph, bluerabbit
Grundlagen
Mit welcher Funktion können wir die Orts-Koordinaten einer Schwingung beschreiben? (z.B. aus der Physik: die Schwingung eines Federpendels)
Am folgenden Applet kann man erkennen: Die Schwingung lässt sich als "Schatten" einer gleichmäßigen Kreisbewegung interpretieren.
Ein paar Schritte weitergedacht...
Allerdings kann man die Orts-Funktion der Schwingung schlecht als "Schatten einer Kreisbewegung" definieren... Also muss ein Funktionsterm her!
Wir erkennen: Offensichtlich entspricht die Ortskoordinate des Pendels stets der y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis.
Beim Pendel ändert sich die Ortskoordinate mit der Zeit, d.h. der y-Wert des Pendels hängt von t ab - die Funktion muss also die Form haben. Beim Kreis ändert sich die Ortskoordinate aber auch mit dem Winkel. Statt einer Funktion haben wir es also mit einer Funktion zu tun.
Unser Ziel ist also eine Funktion, die jedem Winkel gerade dem y-Wert auf dem Kreis zuordnet.
Allerdings brauchen wir immernoch einen Funktionsterm dafür!
Betrachten wir einmal das folgende Applet: In ihm ist ein Kreis mit Radius 1 mit dem Mittelpunkt im Ursprung gezeichnet.
Für Winkel zwischen 0° und 90° erkennen wir nun:
Also: die y-Koordinate entspricht gerade dem !
(Analog erkennt man: die x-Koordinate entspricht gerade dem .
Damit führt man eine neue und alternative Definition von Sinus und Cosinus ein (Die NICHTS mehr mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun hat und daher auch nicht auf Winkel zwischen 0° und 90° beschränkt ist!):
Den Wert erhält man, indem man den Winkel x (wie oben) in den Einheitskreis einträgt. Der Wert ist dann die y-Koordinate des Schnittpunkts zwischen dem Kreis und dem zweiten Schenkel des Winkels.
Den Wert erhält man, indem man den Winkel x (wie oben) in den Einheitskreis einträgt. Der Wert ist dann die x-Koordinate des Schnittpunkts zwischen dem Kreis und dem zweiten Schenkel des Winkels.
Damit lässt sich nun eine Sinus- und eine Cosinusfunktion definieren:
Die Funktion ordnet jedem Winkel x seinen entsprechenden Wert nach obiger Definition zu.
Die Graphen der beiden Funktionen lassen sich am folgenden Applet entdecken:
Mit den beiden neuen Funktionen lässt sich nun auch die Tangensfunktion definieren: