M2.I.3 L Bestandsfunktion aus Änderungsfunktion rekonstruieren
Leitfrage zu Phase 3
Wie bestimmt man die Wassermenge (Bestand) aus der Zuflussrate (Änderungsrate), wenn diese sich kontinuierlich ändert (also nicht geradlinig verläuft)?Die zwei Kontexte
K1) Loriot-Sketch "Herren im Bad"
Endlich kommt es zwischen Herr Müller-Lüdenscheid und Dr. Löbner zu einer Einigung! Nachdem sie die Wanne komplett geleert haben, füllen sie sie probeweise kontrolliert, indem sie den Wasserhahn langsam immer weiter öffnen und genauso wieder schließen.
K2) Stausee bei Dürre
Der Fluss Ter, der den Stausee Panta de Sau speist, trocknet im Sommer immer wieder aus, weil der Niederschlag fehlt. Führt das automatisch zu einem Trockenfallen des Stausees?
Der Mitarbeiter des Wasserwerks simuliert diese Schwankung im Zufluss mit dem allmählichen Auf- und Zudrehen eines Wasserhahns.
Infinitesimale Idee vorbereiten
Die SuS machen sich zunächst vertraut mit dem Applet 
M2.I.4 App Wasserhahn gleichmäßig, das sowohl im Arbeitsblatt M2.I.4a) AB Wannenfrieden K1 als auch im Arbeitsblatt M2.I.4a) AB Dürre K2 enthalten ist.
Sie werden dann aufgefordert sich mit der Leitfrage "Wie viel Wasser ist nach 10 Minuten in der Wanne, wenn sie zu Beginn leer war?" auseinanderzusetzen.
Teilaufgabe a) führt zu einem kurzen Brainstorming, in dem Ideen gesammelt werden, um den tatsächlichen Bestand anzunähern (zum Beispiel: Fläche unter dem Graphen in Rechtecke und Dreiecke einteilen). Dabei sollten die Grenzen der bisherigen Strategie thematisiert werden: Wenn die Zuflussrate (= Änderungsrate) keine lineare Funktion, sondern eine gekrümmte Funktion ist, lässt sich die Wassermenge (= Bestand) nicht exakt durch die Berechnung von Rechtecks- und Dreieckflächen rekonstruieren.
Teilaufgabe b) bietet (falls notwendig) einen Denkanstoß für dieses Dilemma, indem auf den zweiten Teil von Phase 1 zurückverwiesen wird. Für den infinitesimalen Ansatz hilft der Tipp sich an das Vorgehen bei der Bestimmung der Geschwindigkeit des Gepards zu erinnern.
Kombiniert ergibt sich die Idee, das Vorgehen aus Phase 1 auf genügend kleine Zeitintervalle anzuwenden, in denen die Änderungsrate nahezu linear ist. Dann werden die jeweiligen Zuwächse addiert. Diese Idee bildet die Basis der Grundvorstellung "Integrieren als Kumulieren", die in Kapitel II in der Definition des Integrals als Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme mündet.
Eine rechnerische Umsetzung erfolgt erst in Kapitel II.
M2.I.4 App Wasserhahn gleichmäßig, das sowohl im Arbeitsblatt M2.I.4a) AB Wannenfrieden K1 als auch im Arbeitsblatt M2.I.4a) AB Dürre K2 enthalten ist.
Sie werden dann aufgefordert sich mit der Leitfrage "Wie viel Wasser ist nach 10 Minuten in der Wanne, wenn sie zu Beginn leer war?" auseinanderzusetzen.
Teilaufgabe a) führt zu einem kurzen Brainstorming, in dem Ideen gesammelt werden, um den tatsächlichen Bestand anzunähern (zum Beispiel: Fläche unter dem Graphen in Rechtecke und Dreiecke einteilen). Dabei sollten die Grenzen der bisherigen Strategie thematisiert werden: Wenn die Zuflussrate (= Änderungsrate) keine lineare Funktion, sondern eine gekrümmte Funktion ist, lässt sich die Wassermenge (= Bestand) nicht exakt durch die Berechnung von Rechtecks- und Dreieckflächen rekonstruieren.
Teilaufgabe b) bietet (falls notwendig) einen Denkanstoß für dieses Dilemma, indem auf den zweiten Teil von Phase 1 zurückverwiesen wird. Für den infinitesimalen Ansatz hilft der Tipp sich an das Vorgehen bei der Bestimmung der Geschwindigkeit des Gepards zu erinnern.
Kombiniert ergibt sich die Idee, das Vorgehen aus Phase 1 auf genügend kleine Zeitintervalle anzuwenden, in denen die Änderungsrate nahezu linear ist. Dann werden die jeweiligen Zuwächse addiert. Diese Idee bildet die Basis der Grundvorstellung "Integrieren als Kumulieren", die in Kapitel II in der Definition des Integrals als Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme mündet.
Eine rechnerische Umsetzung erfolgt erst in Kapitel II. Grundvorstellungen
Diese Phase thematisiert einerseits die Analogie zur Grundvorstellung der Differentialrechnung "lokale Änderungsrate und Bestand" und andererseits die Grenzen der bisherigen Strategie zur Rekonstruktion der Bestandsfunktion bei gegebener Änderungsrate. Sie bildet den Übergang zwischen den beiden Grundvorstellung aus Kapitel 1 "Integrieren als Rekonstruieren" sowie "Integrieren als Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts" und der Grundvorstellung "Integrieren als Kumulieren", die in Kapitel 2 zentral ist.
Zeitbedarf
ca. 1h
Übungsaufgaben
o-mathe: Integralrechnung Integrale Rekonstruktion eines Bestandes Erkundung Zufluss-Abfluss-Systeme Vertiefung: Abschätzungen (Direktlink)