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Newton-Verfahren

Autor:Martin Breede
Tópico:Derivadas

Problemstellung

Gesucht sind Nullstellen der Funktion . Leider ist es mit unseren Kenntnissen aber nicht möglich, die Gleichung "analytisch", durch Umformungen zu lösen. Daher lernen wir mit dem "Newton-Verfahren" ein "numerisches Lösungsverfahren", bei dem durch systematisches Probieren sehr geschickt eine Näherungslösung gefunden wird.

Erste Vermutungen

Ein erster "Startwert" für eine Nullstelle wird geraten, beispielsweise . In der Tabelle unten ist dieser erste Startwert in der Spalte A eingetragen. Der zugehörige Funktionswert ist daneben in der Spalte B notiert. Wir hätten uns dort ein Ergebnis 0 stattdessen gewünscht! Neben der Tabelle ist ein zugehöriger Ausschnitt des Funktionsverlaufs grafisch dargestellt. Erläutern Sie, welchen x-Wert man als nächstes ausprobieren sollte! Verwenden Sie bei ihren Überlegungen auch die Steigung der Funktion f'(4).

Lineare Approximation

Wir nähern den Verlauf von f in der Gegend unseres Punktes (4|5) durch eine Tangente linear an. (Man spricht von einer "Approximation" = Annäherung.) Denn für eine solche Gerade kann man sehr leicht eine Nullstelle berechnen. Die Steigung der Tangente wird mit f'(x) berechnet. Stellen Sie den Funktionsterm dafür auf und schreiben Sie ihn in der Tabelle in die Zelle C1. Lassen Sie darunter in der Zelle C2 den konkreten Steigungswert f'(4) berechnen, indem Sie dort die Rechenanweisung "=A2^2-2*A2" (allerdings ohne die Anführungsstriche) eintragen. Die Tangente hat also eine Gleichung, bei der ist. Ihren y-Achsenabschnitt c berechnet man also mit , allgemein mit . Die Tangentengleichung ist damit , bzw. hier konkret .

Die nächste Vermutung für eine Nullstelle

Die nächstbeste Vermutung für eine Nullstelle ist diejenige Zahl , bei der die Tangente den Wert 0 erreicht, wo also gilt. Durch Umstellen erhält man . Das Ausrechnen überlassen wir der Tabellenkalkulation und schreiben in die Zelle A3 der Tabelle die Rechenanweisung "=(C2*A2-B2)/C2".

Warum sind wir nicht fertig? Wie geht es weiter?

Ergänzen Sie in der Zelle B3 eine Rechenanweisung, um dort den Funktionswert für die neue, vermutete Nullstelle ausrechnen zu lassen. Erklären Sie, warum sich (leider) kein Wert 0 ergibt. Setzen Sie das Verfahren fort, um schrittweise mit weiteren linearen Approximationen die "richtige" Nullstelle anzunähern. Was ist ihr bestes Ergebnis?

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