Kreisbüschel wurzeln

_ _ _ _ _ z - Ebene → → → → → √ → → → → → → → w - Ebene

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (August 2019; Beschlenigungsversuch Februar 2020) Kapitel: "Spezielle komplexe Funktionen"

Für dieses Applet benötigt man etwas Geduld: gedacht und versucht ist, dass Änderungen der veränderlichen Teile zu Beginn schnell möglich sind. Die zeitaufwändige Neuberechnung und Anzeige der zahlreichen impliziten Kurven sollte dann erst mit "Kurven neu berechnen" erfolgen. Oben angezeigt: Die konforme, komplex-differenzierbare Abbildung . Die Bild-Kurven der Kreise in der -Ebene werden in der -Ebene zunächst nur "halb" angezeigt: Aus wird , dh. es werden nur Punkte mit erfasst! Die 2. Hälfte erhält man durch Spiegelung am Ursprung Die Bildkurven sind CASSINI-Quartiken - man vergleiche auch das Kapitel Berührorte oder Cassini-Kurven. Es sei der Mittelpunkt eines der Kreise des Kreisbüschels in der -Ebene und es seien die Bildpunkte in der -Ebene. Die Kurven in der -Ebene genügen der Gleichung:
  • oder
Das ist die charakterisierende Gleichung der CASSINI-Quartiken. Kurz: das Bild eines Kreises oder einer Geraden unter der komplexen Wurzel-Funktion ist eine CASSINI-Quartik, wobei wir diese Bezeichnung wie im oben genannten Kapitel verwenden: enthalten in dieser Kurvenklasse sind auch gleichseitige Hyperbeln (BERNOULLI-Lemniskaten) und in 2 Kreise zerfallende Quartiken. Möbiusgeometrisch sind diese Kurven von Interesse als Berührorte: Die Orte, in welchen sich die Kreise zweier Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden, sind gerade die CASSINI-Quartiken. Betrachtet man nicht nur die Kreise eines Kreisbüschels, sondern auch die Kurven, welche ein Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden - die Loxodrome - so erklärt sich die Bezeichnung "Berührorte": in den CASSINI-Quartiken berühren sich die zu 2 Winkeln gehörenden Loxodromen zweier Kreisbüschel. Siehe Berührorte und Berührort zweier Kreisbüschel