Ley del cuadrilátero
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema(s):
- Cuadrilátero general, Geometría, Paralelogramo, Cuadriláteros
En cualquier cuadrilátero, la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las bimedianas, segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos, más cuatro veces el cuadrado de la bimediana de las diagonales (segmento que une sus puntos medios).
Para demostrarlo, se aplica la ley del paralelogramo a los tres paralelogramos de Varignon de los tres cuadriláteros convexos o cruzados que determinan los cuatro lados y las dos diagonales.
Nota: #1 nos dice que la suma de los cuadrados de las diagonales iguala al doble de la suma de los cuadrados de las bimedianas.
En cualquier cuadrilátero se tiene entonces que:
a²+b²+c²+d² ≥ p²+q²
dándose la igualdad solo en los paralelogramos.
A partir de #1, #2 y #3 también pueden obtenerse formulas para las longitudes de las bimedianas y del segmento que une los puntos medios de las diagonales:
m=½√(b²+d²-a²-c²+p²+q²)
n=½√(a²+c²-b²-d²+p²+q²)
s=½√(a²+b²+c²+d²-p²-q²)
(A Cornucopia of Quadrilaterals, Claudi Alsina & Roger B. Nelsen)