O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Neste capítulo, daremos ênfase à construção de uma parábola e abordaremos alguns elementos fundamentais para o seu estudo, como a reta diretriz, o foco e o vértice. Como referência teórica, utilizaremos o livro da SBM (Sociedade Brasileira de Matemática), Temas e Problemas, de Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado. O tema “Função Quadrática” encontra-se no capítulo 2, página 21.

As definições apresentadas seguirão esse material, porém as construções serão elaboradas pelo autor deste GeoGebra Book (Elias de Jesus Estevão). A partir de agora, daremos início à construção. Mas, antes disso, veremos algumas definições importantes relacionadas ao tema. Em seguida, você encontrará as construções que servirão como complemento para o nosso estudo. DEFINIÇÃO O gráfico de uma função quadrática , dada por , , é o subconjunto formado pelos pontos (), cuja abscissa é um número real arbitrário e cuja ordenada é o valor que a função assume no ponto . Começaremos mostrando que é uma parábola. Isto requer a definição seguinte. Consideremos no plano, uma reta e um ponto fora dela. A parábola de foco e diretriz é o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes do ponto e da reta (FIGURA 1). Lembremos que a distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular baixado do ponto sobre a reta. A reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz chama-se eixo da parábola. Chama-se vértice da parábola ao ponto dessa curva que está mais próximo da diretriz. Ele é o ponto médio do segmento cujas extremidades são o foco e a interseção do eixo com a diretriz. Se o ponto pertence à parábola e é o seu simétrico em relação ao eixo, então e , logo também pertence à parábola. Isto significa que o que denominamos eixo é, de fato, um eixo de simetria da parábola. Logo abaixo, você observará a construção de uma parábola. Mova o ponto Q e observe o que acontece. Em seguida, você encontrará um tutorial passo a passo de como realizar essa construção no GeoGebra.

TUTORIAL PARA A CONTRUÇÃO DA PARÁBOLA Olá, estudantes, tudo bem? Abaixo vocês encontrarão um vídeo que explica, passo a passo, como construir a parábola no GeoGebra. O vídeo, intitulado “Equações Cônicas: A Parábola”, é do professor William e está disponível no canal O GeoGebra no YouTube. O canal tem como objetivo compartilhar conhecimentos sobre construções no software GeoGebra, um programa de alto nível e gratuito.

Caso você tenha encontrado dificuldades na realização da tarefa, disponibilizamos um segundo tutorial, no qual você seguirá sozinho, apenas com as instruções. Quer tentar? Então vamos lá! Segue o tutorial. Tutorial: Construindo a Parábola a partir do Foco e da Diretriz Este método cria um ponto que, ao ser movido, desenha o traçado da parábola, deixando um rastro visual. Passo 1: Criar os Elementos Fundamentais (Foco e Diretriz)

1. Abra o GeoGebra Clássico (LINK: GeoGebra Classic).
2. Crie o Foco:
   • Selecione a ferramenta Ponto (no segundo menu).
   • Clique em qualquer lugar na Janela de Visualização para criar um ponto. Por exemplo, em (0, 2).
   • Renomeie este ponto para "Foco". Para isso, clique com o botão direito sobre o ponto (ou nos três pontinhos na Janela de Álgebra), vá em "Configurações" e mude o nome no campo "Nome".
3. Crie a Reta Diretriz:
• Selecione a ferramenta Reta (no terceiro menu).
• Clique em dois pontos distintos para criar uma reta (Fora de F). Para facilitar, crie uma reta horizontal. Por exemplo, clique em (-2, -2) e (2, -2).
• Na Janela de Álgebra, você verá a equação da reta (ex: ). Renomeie a reta para "diretriz".

1. Selecione a ferramenta Ponto em Objeto (no segundo menu).
2. Clique sobre a reta diretriz. Um ponto (vamos chamá-lo de D) aparecerá, e você poderá movê-lo apenas ao longo da reta.

1. Selecione a ferramenta Mediatriz (no quarto menu).
2. Clique no ponto Foco e depois no ponto D (o ponto móvel na diretriz).
3. Uma reta perpendicular ao segmento FD aparecerá. Esta é a mediatriz.

1. Selecione a ferramenta Reta Perpendicular (no quarto menu).
2. Clique primeiro no ponto D (o ponto móvel) e depois na reta diretriz.
3. Uma reta vertical (se sua diretriz for horizontal) aparecerá.

1. Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos (no segundo menu).
2. Clique na mediatriz (criada no Passo 3) e depois na reta perpendicular (criada no Passo 4).
3. O ponto de interseção (vamos chamá-lo de P) aparecerá. Este é o nosso ponto da parábola!

1. Clique com o botão direito no ponto P e selecione a opção Habilitar Rastro (ou "Exibir Rastro").
2. Para um visual mais limpo, você pode ocultar as retas auxiliares (a mediatriz e a perpendicular). Clique nas bolinhas coloridas ao lado delas na Janela de Álgebra para escondê-las.
3. Agora, clique e arraste o ponto D ao longo da reta diretriz.
4. Veja a parábola sendo desenhada pelo rastro do ponto P!

E aí? Como foi a experiência? Deu certo? Espero que você tenha conseguido realizar a tarefa com tranquilidade. Nos próximos capítulos, estudaremos os coeficientes de uma função quadrática. Essa atividade que você acabou de realizar é apenas um estudo inicial sobre a definição de uma parábola (o gráfico que aparece quando inserimos funções polinomiais de grau 2 no GeoGebra). Um grande abraço, e nos vemos no próximo capítulo. Tchau!!!