Posizione reciproca di due rette
Nel piano cartesiano sono assegnate due rette:
r: ax + by + c = 0 e s: a'x + b'y + c' = 0.
Vogliamo sapere se esse sono incidenti e, in caso affermativo, determinare le coordinate del punto P di intersezione.
Poiché il punto P deve appartenere ad entrambe le retta, le sue coordinate devono soddisfare entrambe le equazioni, cioè devono essere soluzione del sistema:
Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer, dopo averlo scritto in forma normale:
osserviamo che esso è determinato, e quindi ammette una sola soluzione, se e solo se il determinante dei coefficienti delle incognite: oppure: In questo caso le rette sono incidenti e il punto P, intersezione tra r ed s, avrà per coordinate le soluzioni del sistema:
Se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, il sistema può essere impossibile (in tal caso le rette non hanno alcun punto in comune) o indeterminato (in tal caso il sistema ha infinite soluzioni cioè le due rette hanno tutti i punti in comune). Il sistema è impossibile se:
indeterminato se:
In questo caso infatti le due equazioni sono equivalenti e quindi rappresentano la stessa retta. Concludendo: