Verallgemeinerung I
Betrachten wir den gleichen Abstand zu Kreis und Gerade, so kann man die Gerade als entarteten Kreis auffassen und kommt dann allgemeiner zur Frage nach dem gleichen Abstand zu zwei Kreisen mit den Mittelpunkten M1 und M2 und den Radien r1 und r2. Es erweist sich, dass der gesuchte Punkt M dann auf einer Ellipse liegen muss, weil r1 - r + r2 + r = r1 + r2 konstant sein muss. Das führt zur Gärtnerkonstruktion einer Ellipse.
Mit den Tools von GeoGebra können wir diese Ellipse aus den beiden Brennpunkten M1 und M2 und A (oder B) konstruieren.
Vergrößern wir nun den Radius des zweiten Kreises (durch Ziehen am grünen Punkt C in Richtung x-Achse), so dass die Kreislinie k2 tendenziell zur Geraden wird, so ändert sich die rote Ellipse als Bahn des gesuchten Punktes M und wird tendenziell zur Parabel. Dies 'sieht' man optisch mit einer gewissen Unsicherheit. Numerisch kann man die numerische Exzentrizität der Ellipse mit dem entsprechenden GeoGebra-Befehl anzeigen lassen und stellt fest, dass sich diese immer mehr an den Wert 1 annähert und schließlich bei einer Rundungsgenauigkeit auf 4 Dezimalstellen als 1 angezeigt wird.
Hier wird der Ansatz also umgekehrt. Es wird nicht mehr ein Punkt konstruiert und dessen Weg in der Dynamik als Ortslinie untersucht. Es wird vielmehr mathematisch begründet, auf welcher Bahn der Punkt M verlaufen muss und dann mit Punkt auf Objekt der Tangentialkreis konstruiert.
Mathematisch bleibt der rote Kegelschnitt eine Ellipse und die numerische Exzentrizität hat immer noch eine minimale Abweichung vom Wert 1.
Hier wird im Endlichen ein Grenzprozess dynamisch visualisiert.
Dies soll das Phänomen veranschaulichen und verstehbar machen, dass im Fall k2 Gerade die Bahnkurve von M eine Parabel sein muss.
Dank an Hans Walser und Wilfried Dutkowski.