II: Konfokale Kegelschnitte 2
Das quadratische Vektorfeld besitze 2 einfache und eine doppelte Nullstelle.
Wir wählen das euklidische KOS so, dass die einfachen Brennpunkte und der doppelte Brennpunkt ist.
Projiziert man im Quadrik-Modell vom Pol der -Achse auf die -Achsen-Ebene, so wird die -Achse zum (roten) Kreis, auf dem die Brennpunkte , sowie und der doppelte Brennpunkt liegen.
Die -Achse ist Symmetrieachse.
Die Schar der Quadriken mit den angegebenen Brennpunkten sind in diesem Falle die Kegel, welche den Pol der -Achse als Kegelspitze besitzen. In der 3D-Darstellung liegt der Pol der -Achse in der Fernebene, die Kegel erscheinen als Zylinder.
Diese Zylinder berühren in der -Ebene die Tangenten an die Brennpunkte . Die Berührpunkte seien . Außerdem berühren sie die Möbiusquadrik in doppelt.
In der 2D-Darstellung ist also ein Kegelschnitt zu konstruieren, von dem 3 Punkte und (mindestens) 2 Tangenten gegeben sind. Das ist prinzipiell lösbar.
Im obigen Applet läßt sich der Berührpunkt auf der Tangente von bewegen. Hiermit läßt sich die Schar der Berührkegelschnitte und in der 3D-Darstellung die Schar der Quadriken verfolgen. Reelle Schnittkurven mit der Möbiusquadrik, also sichtbare bizirkulare Quartiken gibt es nur, wenn der Berührpunkt zwischen den Schnittpunkten und der Tangenten von bzw. der Tangenten von liegt.
Die Zylinder schneiden die Möbiusquadrik entweder isoliert in und einer geschlossenen Kurve mit den Brennpunkten , das sind Ellipsen, oder mit einem Doppelpunkt in , das sind Hyperbeln.
Kurz: die Schnittkurven sind konfokale Kegelschnitte.
Die einzelnen Schnittkurven entstehen als Schnitt der Möbiusquadrik mit einen zweiten Quadrik. Das Quadrikbüschel enthält neben dem Kegel durch den Pol der -Achse auch den Kegel durch den Pol der -Achse und den Kegel durch . Aber auch die anderen Quadriken des Quadrikbüschels sind durch die 3D-Möglichkeiten von Ge
Gebra erfreulich schön anzuschauen: ein kontinuierliches Bild von Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden, unterbrochen von Kegeln und Zylindern.
Zur Konstruktion der Berührkegelschnitte in der 2D-Darstellung: der Berührkegelschnitt entsteht aus dem Kreis, der die -Achse dargestellt, durch die projektive Abbildung, welche den Schnittpunkt und die Tangente an punkteweise fix läßt. Die Verbindungsgerade von mit geht dabei über in die Verbindungsgerade von und : hiermit ist der 2.te Schnittpunkt des gesuchten Kegelschnitts mit der -Achse konstruiert. Die Mittelsenkrechte zur Strecke ist Symmetrieachse, damit kann man den 5.ten Punkt des gesuchten Kegelschnitts und damit diesen selber konstruieren: .
Bemerkung: Man kann auch den Brennpunkt auf der x-Achse bewegen. Dies ändert nichts an der eigentlichen Konstruktion: möbiusgeometrisch ist auf der -Achse zunächst keine Skala festgelegt!
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.
Gebra erfreulich schön anzuschauen: ein kontinuierliches Bild von Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden, unterbrochen von Kegeln und Zylindern.
Zur Konstruktion der Berührkegelschnitte in der 2D-Darstellung: der Berührkegelschnitt entsteht aus dem Kreis, der die -Achse dargestellt, durch die projektive Abbildung, welche den Schnittpunkt und die Tangente an punkteweise fix läßt. Die Verbindungsgerade von mit geht dabei über in die Verbindungsgerade von und : hiermit ist der 2.te Schnittpunkt des gesuchten Kegelschnitts mit der -Achse konstruiert. Die Mittelsenkrechte zur Strecke ist Symmetrieachse, damit kann man den 5.ten Punkt des gesuchten Kegelschnitts und damit diesen selber konstruieren: .
Bemerkung: Man kann auch den Brennpunkt auf der x-Achse bewegen. Dies ändert nichts an der eigentlichen Konstruktion: möbiusgeometrisch ist auf der -Achse zunächst keine Skala festgelegt!
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