Die komplette Sinusfunktion
Ziele: Die Phasenverschiebung berücksichtigen beim Skizzieren des Graphen
und beim Finden des Zeit-Elongations-Gesetzes
Im letzten Abschnitt ist das Problem bereits aufgetaucht: Wenn wir z.B. ein Fadenpendel auslenken, loslassen und die Schwingungen beobachten, dann sollte die zugehörige Sinusfunktion bei der maximalen Elongation und nicht bei dem Funktionswert null beginnen. Dafür müssen wir nur den Graphen der Sinusfunktion um eine viertel Periodendauer nach links schieben.
SKIZZIEREN:
Aufgabe 1:
a) Verschieben Sie in der App den Graphen der Sinusfunktion um T/4 (eine viertel Periodendauer) nach links, indem Sie "φ0" mit dem Schieberegler um 0,5 erhöhen.
b) Skizzieren Sie den Graphen auf Karopapier mit den gleichen Verfahren wie im letzten Abschnitt: Erst markante Punkte (Maximum, Minimum, Nulldurchgang) markieren, dann (möglichst sinusartige) Kurve durch die Punkte ziehen. Vergleichen Sie Ihre Skizze mit dem Graphen in der App.
Ergebnis: Der Funktionsgraph ist sinusförmig, aber bei t=0s ist das Pendel maximal ausgelenkt, denn y(t=0s) ist maximal.
FUNKTIONSGLEICHUNG:
In der Funktionsgleichung, also im Zeit-Elongations-Gesetz, wird ein zeitlich konstanter Phasenwinkel, nennen wir ihn φ0 , zum zeitlich abhängigen Winkel, , addiert:
( + φ0 )
In unserem Beispiel:
( + 1/2 π )
Warum wird gerade addieren? Denken Sie zurück an den Einheitskreis: Ein Vollwinkel (eine volle Schwingung) sind . Wir wollen aber den Graphen nur um ein Viertel einer vollen Schwingung verschieben, also um (beachten Sie den Einheitskreis).
Die restlichen Aufgaben befinden sich unter der App.
Aufgaben (weiter)
2) Skizzieren Sie den Graphen zum Zeit-Elongations-Gesetz mit folgenden Paramern:
Geben Sie Periodendauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit an. Berechnen Sie auch die Fadenlänge des Pendels und skizzieren Sie das passendes Fadenpendel zum Zeitpunkt t=0s.
3) Lassen Sie sich in der App durch Betätigung des Häkchens bei Aufgabe A3(a) einen Funktionsgraphen anzeigen. Schreiben Sie das Zeit-Elongation-Gesetz mit den passenden Paramern auf. Überprüfen Sie Ihre Lösung durch Bestätigen des Hakens zu (b) in der App.
4) Die Feder eines (großen) Federpendels wird um 50cm verlängert und dann losgelassen. In 16 Sekunden schafft das Pendel sechs volle Schwingungen. Berechnen Sie die Periodendauer und die Winkelgeschwindigkeit, schreiben Sie das Zeit-Elongation-Gesetz für diese Situation auf und skizzieren Sie den passenden Graphen für die doppelte Periodendauer.
5) Lassen Sie sich in der App durch Betätigung des Häkchens bei Aufgabe A5(a) einen Funktionsgraphen anzeigen. Schreiben Sie das Zeit-Elongation-Gesetz mit den passenden Paramern auf. Überprüfen Sie Ihre Lösung durch Bestätigen des Hakens zu (b) in der App.
6) Skizzieren Sie den Graphen zum Zeit-Elongations-Gesetz mit folgenden Paramern:
Geben Sie Periodendauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit an. Berechnen Sie auch die Fadenlänge des Pendels und skizzieren Sie das passendes Fadenpendel zum Zeitpunkt t=0s.