Der Geradenraum im reellen Quadrikmodell
Im reellen Vektorraum ist eine quadratische Form der Signatur (+,+,+,-) gegeben. Im projektiven Raum sind die Punkte p = [] mit und die Möbiuspunkte auf der Möbiusquadrik Q. Punkte außerhalb der Quadrik k = [] mit repräsentieren reelle Kreise, Punkte innerhalb imaginäre Kreise. Ein Punkt p = [] liegt auf einem Kreis k = [], wenn gilt.
In ist eine Orientierung durch eine Determinantenform festgelegt.
Einem von zwei Vektoren aufgespannten 2-dimensionalen Unterraum von , also projektiv betrachtet einer Geraden, werde die alternierende Bilinearform für zugeordnet.
Im reell 6-dimensionalen Vektorraum aller alternierenden Formen auf repräsentieren die zerlegbaren Vektoren die zweidimensionalen Unterräume des : ein Vektor liegt auf , falls gilt. Jede alternierende Form läßt sich als Linearkombination zerlegbarer Formen darstellen.
In ist eine symmetrische Bilinearform ausgezeichnet, die Plückerform als bilineare Fortsetzung der Vorschrift .
Ein Vektor ist zerlegbar, d.h. für geeignete stellt eine Gerade dar, genau dann, wenn gilt.
In dem zu gehörenden projektiven Raum, dem Geradenraum ist durch die Plückerform eine Quadrik gegeben; die "Punkte" auf dieser Quadrik sind die Geraden des .
Zwei Geraden schneiden sich im , falls gilt.
Man vergleiche zur Geometrie der Geraden [BOL] oder [HOSCH].
Geraden im Quadrikmodell der Möbiusebene repräsentieren lineare Kreisbüschel. Zu welchem Typ ein Kreisbüschel gehört, läßt sich entscheiden mit Hilfe einer zweiten symmetrischen Bilinearform auf :
Die Möbiusform auf induziert auf die quadratische Form als bilineare Fortsetzung der Gramschen Determinante .
Für Geradenvektoren ist die Diskriminante.
Daher repräsentiert ein Geradenvektor ein Kreisbüschel*), falls gilt.
Denn die von und aufgespannte Gerade , falls gilt.
Wir denken uns die Kreise des Büschels als die Schnitte der Möbiusquadrik mit den Ebenen, welche durch die Gerade gehen.
*): Man vergleiche zu den Bezeichnungen für Kreisbüschel die Bemerkung in der Einführung.
Die Punkte A, B lassen sich auf der Kugel bewegen. Wenn sie fast zusammenfallen, entsteht fast ein parabolisches Kreisbüschel.
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