Vektoren in der Ebene
Vektoren in GeoGebra eingeben
Vektoren können auf 3 Varianten im Algebrafenster erstellt werden:
- Durch den Befehl Vektor([Punkt]). (z.B.: Vektor(A) oder Vektor((1,3)) )
- Durch den Befehl Vektor([Anfangspunkt], [Endpunkt]). (z.B.: Vektor(A,B), Vektor((2,4),(5,6)) )
- indem man ein Zahlenpaar mit einem Kleinbuchstaben benennt: v=(1,2) ergibt einen Vektor, V=(1,2) ergibt einen Punkt
Vektoren verschieben
Mit dem Werkzeug Vektor können auch Vektoren in der Ebene erstellt werden.
So erstellte Vektoren können auch nachher auf der Ebene Verschoben werden.
- Erstelle die Punkte A=(3,5) und B=(6,1) mithilfe des Punkt-Werkzeugs
oder im Algebrafenster. - Erstelle anschließend einen Vektor mit dem Vektor-Werkzeug
oder einem Befehl im Algebrafenster. - Wähle anschließend wieder das Bewege-Werkzeug
aus und verschiebe den Vektor beliebig auf der Ebene. Beobachte, wie sich der Vektor verändert, wenn du ihn verschiebst
Vektor bestimmen
Die Werte eines Vektors kann man Anhand des Steigungsdreiecks bestimmen.
- x-Koordinate oder 1. Eintrag im Vektor ist waagrechte Länge des Steigungsdreiecks
- Zeigt der Vektor nach rechts, ist die x-Koordinate positiv, zeigt er nach links, ist die x-Koordinate negativ.
- y-Koordinate oder 2. Eintrag im Vektor ist senkrechte Länge des Steigungsdreiecks
- Zeigt der Vektor nach oben, ist die y-Koordinate positiv, zeigt er nach uten, ist die y-Koordinate negativ.
- Lässt sich kein Steigungsdreieck zeichnen, weil der Vektor senkrecht bzw. waagrecht ist, so ist die x-Koordinate=0 bzw. die y-Koordinate=0.
- Verschiebe die Punkte A und B oder auch den Vektor v beliebig und beobachte, wie sich das Steigungsdreieck, die Seiten von diesem und der Vektor verändert. (Das Steigunungsdreieck kann über oder unter dem Vektor sein, das macht keinen Unterschied)
Vektoren addieren
Erstelle die Vektoren v=(3,2) und w=(1,-3).
- Addiere die Vektoren im Algebrafenster indem du einfach v+w eingibst.
- Versichere dich, dass der Endpunkt von v in GeoGebra als Punkt existiert.
- Verwnde nun das "Vektor von Punkt aus abtragen"-Werkzeug
mit dem Endpunkt von v (z.B. A) und dem Vektor w. Damit wird er w an das Ende von v gehängt. - Falls die Verbindung noch nicht besteht: Zeichne den Vektor vom Anfangspunkt von v bis zum Endpunkt des abgetragenen Vektor ein. Vergleiche ihn mit v+w.
- Erstelle zwei unterschiedliche Vektor mithilfe des Vektor-Werkzeugs (sie sollen nicht in (0|0) beginnen)
- Verwende erneut beide Varianten um die so erstellten Vektoren zu addieren.
Gegenvektor und Vektoren subtrahieren
- Erstelle den Gegenvektor von v, indem du v'=-v eingibst. (es reicht einfach -v, aber so bezeichnen wir den Gegenvektor gleich sinnvoll)
- Subtrahiere v von w indem du einmal w-v eingibst.
- Trage nun den Vektor v' vom Endpunkt von w ab und zeichne den Vektor vom Anfangspunkt von w C zum neuen Endpunkt D' ein.
Vielfache von Vektoren
(bei den Winkeln) oder mithilfe des Befehls Länge([Objekt]) also Länge(v).
Skalarprodukt
Vektoren am Einheitskreis
Beobachte wie sich Skalarprodukt, Winkel und Cosinus verhalten, wenn die Punkte B und C am Einheitskreis verschoben werden.
Überlege welche Länge die Vektoren u und v haben (oder bestimme sie mittel GeoGebra)