Konfokale DARBOUX Cycliden 2-teilig

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 08. August 2020

Eine DARBOUX Cyclide ist eine Fläche, die implizit durch eine Gleichung des Typs bestimmt ist:
  • mit linearem und quadratischen und reellen Koeffizienten.
Die Klasse dieser Flächen ist invariant unter räumlichen Möbiustransformationen. Sie enthält die Quadriken und die DUPINschen Cycliden. Charakterisiert wird eine solche Fläche durch die Anzahl der Symmetriekugeln und durch die Lage der "Brennpunkte" der Fläche. 2-teilige
DARBOUX Cycliden liegen symmetrisch zu 5 paarweise orthogonalen Kugeln, von denen eine nicht reell ist. Im Applet oben sind die Koordinaten-Ebenen und die Einheitskugel die reellen "Symmetriekugeln". Die Gleichung reduziert sich auf
  • , reell.
Durch Vertauschen der Symmetrien kann man erreichen: , . Dann besitzt die
Cyclide topologisch die Gestalt eines liegenden Torus. Da wir keine Parameterdarstellung der Flächen kennen, veranschaulichen wir die Flächen mit Hilfe der Höhenlinien. Jede Kugel und jede Ebene schneidet eine DARBOUX Cyclide in einer bizirkularen Quartik, insbesondere schneiden die Koordinaten-Ebenen in bizirkularen 2-teiligen Quartiken, welche jeweils symmetrisch zu den Achsen und dem Einheitskreis in der Ebene liegen. Hieraus berechnet man die Scheitelpunkte und die Brennpunkte der Quartiken; diese sind zugleich Scheitel- und Brennpunkte der Cyclide. Wir nennen diesen Cycliden-Typ 2-teilig, obwohl in der Schar konfokaler Cycliden nicht alle 2-teilig sind: die Schnittkurven mit Kugeln oder Ebenen sind 2-teilig! Zur Untersuchung einer Schar konfokaler Cycliden fixiere man die Parameter (f's fix). Eine Cyclide besitzt 3*4 Brennpunkte, sofern sie nicht rotationssymmetrisch ist (z.B. !). Für und besitzen die bizirkularen Quartiken in der -Ebene und in der -Ebene 2*4 Brennpunkte auf der -Achse und die bizirkulare Quartik in der -Ebene 4 Brennpunkte auf der -Achse. Die konfokalen Cycliden mit diesen Brennpunkten bilden ein 3-fach orthogonales Flächensystem, vergleichbar den konfokalen Quadriken im Raum: Quadriken sind spezielle DARBOUX Cycliden, bei welchen ein für jede Koordinaten-Ebene 2-fach zählender Brennpunkt ist. Nach dem Satz von CHARLES DUPIN sind die Schnittkurven der konfokalen Cycliden Krümmungslinien auf den Flächen, sie bilden ein 2-fach orthogonales Kurvennetz auf den Cycliden, abgesehen von den Brennpunkt-ähnlichen Punkten auf den Flächen. Diese "Brenn-Punkte" sind die Schnittpunkte mit den Fokalkurven. Durch jeden Punkt des Raumes, von den Brennpunkten abgesehen, gehen genau 3 paarweise orthogonale Cycliden. Für die Punkte auf der -Achse sind dies die - und die -Ebene und eine dazu orthogonale Cyclide durch , welche die -Ebene in einer bizirkularen Quartik schneidet. Mit dem Parameter mit erhält man die Schar der konfokalen Cycliden: - für ist die Cyclide 2-teilig, ein Teil liegt im Inneren des anderen Teils: Typ unten rechts. - für ist die Cyclide vom Torus-Typ unten links - für erhält man 2 getrennt liegende Teile vom Typ in der Mitte.
 
Die Schar der konfokalen Cycliden, abhängig vom Parameter , besitzt 4 Grenzlagen: - für von unten bzw. von oben gehen die Cycliden gegen doppelt zählende Flächenstücke, welche berandet werden von einer bizirkularen Quartik. Diese Quartik in der -Ebene besitzt die Punkte als Scheitelpunkte und als Brennpunkte. Sie ist eine der Fokalkurven.
 
- für sind die Rollen der Brenn- und Scheitelpunkte vertauscht, es ergibt sich die Fokalkurve in der -Ebene, welche die Punkte als weitere Scheitel auf der -Achse besitzt.
 
- für gehen die Cycliden gegen die doppelt-belegte Einheitskugel, für ist die -Ebene die doppelt-belegte Grenzfläche.

Man vergleiche hierzu die Aktivität über konfokale Quadriken und die Rolle der Fokal-Kegelschnitte.
Kreise auf DARBOUX Cycliden: Doppelt-berührende Kugeln schneiden eine DARBOUX Cyclide in Kreisen, die ganz auf der Fläche liegenden. 2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 Scharen doppelt-berührender Kreise. 3 der Scharen liegen auf derselben Seite der Quartik, die 4. Schar liegt auf der anderen Seite. Aus den 3 Scharen auf derselben Seite der Quartik kann man auf 8 verschiedene Weisen 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden: Walter Wunderlich "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" (1938 [WUNW]). Die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartiken auf den Symmetrieebenen der Cycliden lassen sich fortsetzen zu orthogonalen doppelt-berührenden Kugeln. Auf diesem Wege findet man die Kreise auf DARBOUX Cycliden und die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf ihnen: man vergleiche die Aktivität Blaschke's Frage & Darboux Cycliden. Die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartiken in der -Ebene kann man erkunden mit dem Kontrollkästchen Toolbar ImagedbC: Die Brennpunkte können auf 3 verschiedene Weisen Quellpunkte von hyperbolischen Kreisbüscheln sein. Wir nennen die Kreise eines Büschelpaares "Brennkreise". Die doppelt-berührenden Kreise, welche nicht orthogonal zur -Achse liegen, sind Winkelhalbierende der Brennkreise durch die Berührpunkte. Unser Deutungsversuch: die aus den linearen Kugelbüscheln gebildeten Wellen überlagern sich. Die Resultierenden winkelhalbierenden Kugelwellen überstreichen die Cycliden in Kreiswellen. Manche Kreiswellen verschwinden ins Komplexe: dies geschieht wie bei den konfokalen Quadriken in den Schnittpunkten mit den Fokal-Kurven. Vermutlich trifft dies für alle DARBOUX Cycliden zu! Die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf DARBOUX Cycliden gehen in den oben beschriebenen Grenzfällen zweilagig in 6-Eck-Netze auf Kugeln über. Diese Netze sind genau die von Walter Wunderlich beschriebenen "besonderen Dreiecksnetze aus Kreisen". Vergleiche in diesem geogebra-book dazu das Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisscharen. Unsere Vermutung: 6-Eck-Netze aus Kreisen, - die keine Geraden-6-Eck-Netze - und keine Kreis-Netze aus speziellen Büschel-Kreisen sind, wie wir sie im Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisbüscheln aufgelistet haben bestehen aus doppelt-berührenden Kreisen einer bizirkularen Quartik.