Gaußscher Integralsatz

Im vorigen Abschnitt haben wir uns mit der Hinführung zum Begriff der Divergenz und mit deren Anwendung in einigen Beispielen beschäftigt. Die Divergenz beschreibt für jeden Punkt im Raum die Quelldichte eines Vektorfeldes. Nun kann man sich fragen, wie stark denn nun eine Quelle innerhalb eines Gebietes ist. Das führt dazu, sich eine Integration über die Quelldichten anzuschauen. Wir werden sehen, dass sich ein interessanter Zusammenhang ergibt, der auch in der Physik eine große Rolle spielt. Die Bedienung des Applets entspricht der aus den bisherigen Abschnitten. Hier habe ich aber zusätzlich vorgesehen, das Quadrat in weitere Quadrate zu unterteilen. Sie können als Anwender die Anzahl ebenfalls ändern.

Eine wichtige Bemerkung vorweg: Die hier dargestellten Gedanken beschränken sich lediglich auf ein quadratisches Gebiet. Ich habe auch darauf verzichtet, die während der Überlegungen stattfindenden Grenzübergänge von Summen zu den Integralen auf ihre Existenz hin zu überprüfen. Damit ist das hier gezeigte kein strenger Beweis. Mein Ziel ist es, einen intuitiven Zugang zum Gaußschen Integralsatz finden zu helfen. In der Einleitung habe ich bereits die Integration erwähnt, um von der Quelldichte auf die Quelle in einem gegebenen Gebiet zu schließen. Bei der Hinführung zum Integral unter dem Graphen einer Funktion teilt man ein gegebenes Intervall in Teilintervalle auf und berechnet zunächst die Summe von Rechtecken, deren eine Seite die Breite der Teilintervalle und die andere durch den vorliegenden Funktionswert bestimmt ist. Die Summe dieser Rechtecke nähert sich bei Verfeinerung der Einteilung dem Integral an. Wir gehen hier ähnlich vor und teilen unser quadratisches Gebiet in weitere Quadrate ein. Im Applet berechnen wir daraus Quader mit quadratischer Grundfläche. Die Höhe der Quader ist die Divergenz in der Mitte dieser Quadrate. Damit haben wir Volumina vorliegen. Die Summe dieser Volumina nähert sich bei wachsender Verfeinerung dem Integral über der Divergenz an. Im Raum würden wir entsprechend über drei Raumrichtungen integrieren. Das wäre hier aber grafisch nicht darstellbar. Im Applet variieren Sie bei verschiedenen Beispielen die Anzahl der Quadrate und sehen Sie, wie sich in der letzten Zeile die Summe der Volumina einem festen Wert annähern. Ohne einen Beweis geben wir für die Quelle im Quadrat die Beziehung

an. Dieses Doppelintegral allein ist noch nichts Besonderes. Daher schauen wir noch einmal auf die Einteilung. Stellen Sie dazu am besten n=2 ein. Wir sehen, dass in benachbarten Teilquadraten die gleichen Vektoren, die in ein Quadrat hinein zeigen, aus dem Nachbarquadrat heraus zeigen. Wenn wir nun wie im vorigen Abschnitt die Bilanzen zur Annäherung der Divergenz bilden, sehen wir, dass sich die Beiträge an den sich berührenden Seiten aufheben. Lediglich die Randquadrate haben höchstens drei Nachbarn. Wir brauchen also nur die Bilanzen für die Seiten, die an keinen Nachbarn grenzen, in Betracht zu ziehen. Somit bilden wir die Summen aller Vektoren der rechten Ränder der rechten Quadrate und subtrahieren die Summe der Vektoren der linken Seiten der linken Quadrate. Genauso verfahren wir mit der oberen und der unteren Seite des Quadrates. Von diesen Vektorsummen verwenden wir weiter nur die x- bzw. die y-Koordinate. Wir müssen nun noch beachten, dass der Beitrag, den jeder Vektor liefert, proportional zur Länge der Quadratseite ist. Diese Länge beträgt hier . Wir multiplizieren also die Summen mit diesem Faktor. Die Gesamtbilanz bei Quadraten ist also

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Verfeinern wir die Einteilung, so sollte sich die Bilanz der Summe der Volumina annähern, denn wir haben ja im vorigen Abschnitt die Bilanz genutzt, um den Begriff der Divergenz zu verdeutlichen. Auch jetzt führen wir wieder den Grenzübergang durch und erhalten die Bilanz in Integralform als Ausdruck für die gesamte Quelle im Gebiet:

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Mit dieser Bilanz und dem Volumenintegral haben wir das gleiche Ergebnis erzielt. Wir könnten zufrieden mit diesem Ergebnis sein, führen aber verkürzende Schreibweisen ein, die zusätzlich vom Quadrat auf beliebige geeignete Gebietet verallgemeinert. Außerdem formulieren wir diese Verallgemeinerung für den Raum, weil sie dann in der Physik von besonderer Bedeutung ist. Zuerst schauen wir uns die Integralbildung über der gesamten Fläche an: Wir berechnen hier zwei ineinander geschachtelte Integrale. Um die Schreibweise dafür zu vereinfachen, gibt man anstelle der Integrationsgrenzen lediglich einen Hinweis zum Gebiet, über dem integriert werden soll, an. Erfolgt die Integration über einer Fläche, schreiben wir zudem zwei, bei einem Raumgebiet drei Integralzeichen. Anstelle schreiben wir . Damit vereinfacht sich die Formel für die Quelle, übertragen auf den Raum, zu . Anstelle des Dreifachintegrals verwendet man auch das einfache Integralzeichen, da durch die Markierung keine Missverständnisse auftreten. Man schreibt also . Die vier Integrale der Bilanzierung lassen sich dadurch vereinfachen, dass wir die vier Teilstücke zusammenfassen und für beliebige Ränder beschreiben: Wir setzen dazu an jede Quadratseite je einen Einheitsnormalenvektor, von dem wir zusätzlich verlangen, dass er aus dem Quadrat heraus zeigt. Das Skalarprodukt dieser zusätzlichen Vektoren mit denen des Vektorfeldes bewirkt in unserem Fall, dass jeweils die richtige Koordinate des Feldvektors beachtet wird. Außerdem brauchen wir nicht mehr darauf zu achten, welche Seiten einander gegenüber liegen, um die Differenz zu bilden. Dadurch, dass die Normalenvektoren gegenüber liegender Abschnitte in genau entgegengesetzte Richtung zeigen, erfolgt die Subtraktion automatisch, wenn wir die Summe über alle Integrale unter Verwendung der Skalarprodukte bilden. In Formel sieht das Ganze wie folgt aus, wobei ich die Summanden so umsortiert habe, dass die Teilstücke im Uhrzeigersinn aufeinander folgen.

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Damit können wir die Integration auf beliebige Bereiche verallgemeinern. Wir bilden dann nämlich nur ein einziges Integral über den gesamten Rand des Gebietes. Der Integrand ist dabei stets das Skalarprodukt aus dem Feldvektor und dem Einheitsnormalenvektor . Wir schreiben . Das Kreissymbol im Integralzeichen deutet an, dass über den geschlossenen Rand integriert werden soll. symbolisiert den Rand des Bereichs. Übertragen wir das auf den Raum, so integrieren wir über einen dreidimensionalen Bereich, z.B. eine Kugel. Die Integration erfolgt dann wieder über den gesamten Rand, nämlich der geschlossenen Oberfläche. Das Integral ist dann . In der Physik verwendet man auch mit die Schreibweise . Nun haben wir für den gleichen Wert der Quelle zwei Wege der Berechnung. Diese fassen wir zusammen zu

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Das ist die Behauptung des Gaußschen Integralsatzes. Hier meint den Bereich und kennzeichnet die um eine Dimension niedrigere Fläche. Somit können wir die Schreibweise für die Ebene, den Raum oder beliebig-dimensionale Berechnungen verwenden. Die Kernaussage des Satzes ist die, dass das Volumenintegral über der Divergenz eines Vektorfeldes gleich dem Oberflächenintegral der orthogonalen Anteile des Vektorfeldes ist. Es genügt also, lediglich das Vektorfeld an der Oberfläche zu betrachten, um auf Quellen oder senken im Inneren des Bereiches zu schließen. Wenden wir uns nun den Beispielen zu: Punktförmige Quellen Richtigerweise habe ich bei diesem Beispiel durch die Angabe des Vektorfeldes eine Quelle bei und eine Senke bei gesetzt. Es ist das gleiche Beispiel wie bei der Hinführung zur Divergenz. Dort habe ich ganz verschwiegen, wie problematisch dieses Beispiel ist. Die gleiche Problematik trifft übrigens für Punktladungen zu, deren Entsprechung das Beispiel für den zweidimensionalen Fall ist. Im Applet lasse ich intern tatsächlich die Berechnungen durchführen, die in der linken Grafik als Formeln dargestellt sind. Stellen Sie nun mit dem unteren Schieberegler n=30 ein und bewegen Sie das Quadrat. Solange keiner der Punkte oder im Quadrat liegt, liegt durch die Summenbildung offenbar eine gute Näherung für die Integrale vor. Beide Seiten der Gleichung aus dem Lehrsatz sind offenbar erwartungsgemäß null. Was passiert aber, sobald das Quadrat über einen der beiden Punkte gezogen wird? Bei ist die Bilanz (das sieht nach aus), die Volumensumme bleibt null, bei ist die Bilanz und die Volumensumme ist auch null! Was nun, ist der Satz falsch? Nein, das ist er nicht. Und auch GeoGebra macht keine Rechenfehler. Es liegt an der formalen Berechnung der Divergenz: Betrachten wir dazu den einfacheren Fall . Der erste Summand der Divergenz ist , der zweit . Formal ist die Summe der beiden stets null. Wir bedenken dabei jedoch nicht, dass für und gleichzeitig das Feld nicht definiert ist. Damit ist auch die Divergenz für diesen Fall nicht definiert. Und bei der Berechnung der Volumina in GeoGebra sind die Funktionswerte auch immer null, so dass deren Summe null bleibt. Also werden wohl die Angaben , bzw. die richtigen sein. Wie helfen wir uns mathematisch? Wir kehren zur Vereinfachung der punktförmigen Quelle im Ursprung zurück und erweitern den Definitionsbereich dadurch um das Paar , dass wir die Divergenz durch die Funktion angeben. Dabei ist die Dirac-Verteilung. Für alle außer der Null ist ihr Wert null. Außerdem gilt für alle die Gleichung . Stellen wir uns nun die Integration über der Divergenz so vor: Für alle Flächenelemente , die den Ursprung nicht enthalten, ist und nur für das eine einzige, in dem der Ursprung liegt, ist . Dann ist die gesamte Summe auch . Wenn nun auch das Integral über dem Rand ist, dann ist die Gleichheit hergestellt und wir haben die richtige Divergenz der Punktquelle gefunden. Wir verschieben unser Quadrat mit seinem Mittelpunkt in den Ursprung und erhalten . Auch bei einer Wahl des Quadrates außerhalb des Ursprungs erhielten wir dieses Ergebnis, solange das Quadrat den Ursprung enthält, andererseits null. Also trifft der Satz zu. Das gilt auch für unser Beispiel. Auch im dreidimensionalen Raum können wir entsprechend vorgehen. Dort ist beispielsweise der elektrische Fluss einer Punktladung . Wählen wir um diese Ladung herum zur Vereinfachung eine Kugel mit dem Radius r, dann erfolgt die Berechnung des Oberflächenintegrals zu . Homogene Quelldichte Bei diesem Beispiel stellt man sich eine Quelldichte vor, die an jedem Ort gleich ist. Ein Beispiel könnte hier ein Körper mit annähernd überall gleicher Dichte sein. Das zugehörige Vektorfeld wäre dann die Gravitationsfeldstärke im Inneren des Körpers, bei Himmelskörpern die Fallbeschleunigung an deren Oberfläche. Im Applet habe ich für das Vektorfeld schlicht gewählt. Seine Divergenz ist überall . Integriert man nun über ein Quadrat mit der Seitenlänge , so beträgt die Quellstärke überall , egal wo sich das Quadrat befindet. Nun integrieren wir zum Vergleich über dem Rand des Quadrates. Sei die linke untere Ecke des Quadrates der Punkt . Dann sind für

• die rechte Quadratseite ,
• die obere Quadratseite ,
• die linke Quadratseite und
• die untere Quadratseite .

Das gesamte Randintegral ist dann . Das ist, wie nach dem Satz zu erwarten war, gleich . Geschlossenes Feld Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass die Linien des Magnetfeldes um einen stromdurchflossenen langen geraden Leiter geschlossen sind. Sie haben weder Anfang noch Ende, was im Übrigen für alle Magnetfelder gilt. Wir vermuten daher, dass es in Magnetfeldern weder Quellen noch Senken gibt. Ich habe daher als Beispiel ein Feld der Form gewählt. Das entspricht bis auf die fehlende z-Koordinate sogar der Form eines tatsächlichen Magnetfeldes. Im Raum kommt lediglich die z-Koordinate hinzu. Sie ist bei der Wahl des Leiters parallel zur z-Richtung null. Berechnen wir die Divergenz dieses Feldes: . Das stimmt mit unserer Erwartung überein. Allerdings ist auch hier der Ursprung nicht im Definitionsbereich enthalten. Dann hätte dort das Feld möglicherweise doch eine Quelle. Zur Vereinfachung wählen wir als Integrationsweg diesmal nicht unser Quadrat, sondern einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius r als Begrenzung eines Bereiches, in dem wir eine Quelle vermuten. Die Normaleneinheitsvektoren an den Kreis sind . Ihr Skalarprodukt mit den Vektoren unseres Feldes ist offensichtlich stets null. Damit ist auch das Integral über den gesamten Rand des Kreises null und wir wissen nun, dass dieses Feld tatsächlich weder Quellen noch Senken aufweist. Abnehmende Quelldichte Hier wie auch im Abschnitt zur Divergenz dient dieses Beispiel lediglich dazu, dass Sie sich in einer etwas allgemeineren Form die Näherungsmechanismen von Divergenz und Umrandung des gewählten Bereiches ansehen können. Hier hat der Definitionsbereich keine Lücken. Sie werden also überall eine gute Übereistimmung bezüglich der beiden Seiten aus dem Gaußschen Integralsatz feststellen.