Círculo Unitario - Problemas Verbales de Ballet
1: Coordenadas y Posición
* El Inicio del Adagio: Una bailarina comienza en el centro y se desplaza hacia el borde del círculo unitario en un ángulo de π/4 (esquina trasera derecha o "Vaganova 2"). ¿Cuáles son las coordenadas exactas (x, y) de su posición final?
* La Diagonal de la Muerte: Un bailarín debe realizar una serie de grand jetés comenzando en la coordenada sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 y cruzando por el centro hasta el punto opuesto del círculo. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de llegada y qué ángulo en radianes representa esa posición?
* Posición del Arabesque: Si una bailarina está parada en el punto (1/2, -sqrt(3)/2) mirando hacia afuera del círculo, ¿en qué dirección del escenario (en grados) se encuentra con respecto al centro?
* Simetría en el Escenario: Dos bailarines comienzan en posiciones simétricas con respecto al eje Y (la línea central que va de Upstage a Downstage). Si el Bailarín A está en el ángulo π/6, ¿en qué ángulo está el Bailarín B y cuáles son sus coordenadas?
* El Punto Ciego: Un coreógrafo marca un punto en el escenario con la coordenada x = -1. ¿Cuál es la coordenada y correspondiente si el punto está sobre el círculo unitario y qué dirección del escenario representa esto?
2: Rotación y Giros
* Pirouette en Dehors: Una bailarina está mirando al público (3π/2). Si realiza una pirouette en dehors que la rota 5π/2 radianes en sentido antihorario, ¿hacia qué dirección (ángulo entre 0 y 2π) terminará mirando?
* El Fouetté Matemático: Durante una secuencia de fouettés, la pierna de trabajo de la bailarina marca el punto (1, 0) en cada extensión. Si gira 360° y se detiene cada vez que su pierna apunta a π/3, ¿cuántos grados le faltan rotar para completar la vuelta completa y volver a (1,0)?
* Cambio de Frente: Un bailarín está en la posición π (Stage Right). El coreógrafo le pide que rote en sentido horario hasta llegar a la posición equivalente a π\2. ¿Cuál es el desplazamiento angular negativo que realizó?
* Doble Tour: Un bailarín salta realizando un double tour en l'air (dos giros completos). Si despega mirando al ángulo 5π/4, expresa el ángulo total de rotación en radianes y confirma su posición de aterrizaje.
* Promenade Lenta: En un promenade, un bailarín gira su pareja lentamente desde la coordenada (0, 1) hasta la coordenada (1, 0) en sentido horario. ¿Cuál es la longitud del arco que recorrió la mano de la bailarina si asumimos que está en el perímetro del círculo unitario?
3: Trayectorias (Manège)
* Calculando el Manège: Una bailarina realiza un manège (círculo de saltos) alrededor del escenario. Si completa exactamente 3 vueltas completas al círculo unitario, ¿cuál es la distancia total recorrida en términos de π?
* Mitad del Recorrido: Un bailarín corre por el perímetro del círculo unitario desde "Stage Left" (0) hasta "Stage Right" (π) pasando por "Upstage". Si se detiene exactamente a la mitad del camino, ¿en qué ángulo se encuentra y cuáles son sus coordenadas?
* Velocidad Angular: Si una bailarina completa una vuelta completa al círculo unitario (2π radianes) en 4 segundos durante una serie de chaînés, ¿cuál es su velocidad angular promedio en radianes por segundo?
* Sector Circular del Cuerpo de Baile: Un grupo de bailarinas ocupa un sector del círculo unitario delimitado por los ángulos π/6 y π/3. Calcula el área exacta de la superficie del escenario que ocupan dentro de este sector.
* Atajo al Centro: Una bailarina está en el ángulo 7π/6. En lugar de seguir el arco del círculo hacia 3π/2, decide moverse en línea recta hacia el origen (0,0). ¿Cuál es la distancia de este trayecto comparada con la distancia si hubiera seguido el arco?
4: Trigonometría Aplicada
* Elevación de la Pierna: Si la pierna de una bailarina en grand battement crea una hipotenusa de longitud 1 (su pierna) y la altura de su pie con respecto al suelo es sqrt(3)/2 metros (asumiendo escala unitaria), ¿cuál es el ángulo de elevación de su pierna con respecto al suelo?
* Proyección de la Sombra: Un foco de luz está en el "infinito" proyectando sombras desde arriba. Si un bailarín está en la posición angular 2π/3, ¿cuál es la longitud de su "sombra" proyectada sobre el eje X (el valor del coseno)?
* Encuentro de Tangente: Una bailarina se desplaza por la línea tangente al círculo unitario en el punto (0, -1) (frente al público). Si camina una distancia de 1 unidad hacia la derecha (dirección positiva de x), ¿cuál sería el ángulo correspondiente si proyectáramos su nueva posición desde el centro? (Pista: usa la función arcotangente).
* La Pose Final: Para el final de la obra, el bailarín principal debe terminar en una posición donde la tangente del ángulo sea 1 y el seno sea negativo. Determina el ángulo en el círculo unitario que cumple estas condiciones y sus coordenadas rectangulares.