Abitur 2008
Fragwürdig ...
In den 2012 von der Freien und Hansestadt Hamburg herausgegebenen Lernaufgaben zur Vorbereitung auf die schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik wird eine Aufgabe aus dem Abitur 2008 zitiert.
Nachdem man die Funktionen und definiert hat, heißt es dort:
Spannt man ein Seil (oder eine Kette) zwischen zwei gleich hohen Türmen auf, so folgt seine Linie der so genannten Kettenlinie mit . c) Begründen Sie, dass dabei dabei die Höhe des tiefsten Seilpunktes über der Grundebene ist. Untersuchen Sie, wie sich die Kettenlinie ändert, wenn sich bei festgehaltenem der Parameter vergrößert.
Der zitierter Aufgabentext enthält folgenden Fehler:
Eine Kettenlinie liegt bei dieser Funktion nur dann vor, wenn und zu einander reziprok sind, also ist (vgl. Kapitel VII).
Dann kann man aber nicht " festhalten und vergrößern".
Weiter geht es mit Teil d):
Ein Seil wird zwischen zwei jeweils 117,8 m hohen Türmen gespannt. Die Türme sind 150 m voneinander entfernt. Das Seil hat in der Mitte einen Bodenabstand von 80 m. Weisen Sie nach, dass die Kettenlinie für dieses Seil der Gleichung folgt. Berechnen Sie den Winkel zwischen Seil und Turm am Befestigungspunkt des Seils. Untersuchen Sie, wie sich die Parameter a und b sowie der eben berechnete Winkel ändern, wenn man das Seil straffer spannt.Die angegebene Funktionsgleichung passt zum Text. Hier liegt auch eine echte Kettenlinie vor, weil mit a=80 und b=0,0125 diese beiden Werte zueinander reziprok sind. Der Fehler im zweiten Teil dieses Aufgabenteils liegt darin, dass wieder suggeriert wird, man könne die Parameter a und b unabhängig voneinander verändern, und damit allein würde schon das straffer gespannte Seil modelliert. In der Erwartungshorizont/Lösungsvorschlag wird argumentiert, dass a größer werden muss, weil der tiefste Punkt bei x=0 bei gestrafftem Seil höher liegen muss. Ich könnte aber auch argumentieren, dass a kleiner werden muss, damit der Graph weniger stark gekrümmt ist. Sinnvoll kann man diesen Aufgabenteil eigentlich nur lösen, wenn man von der Funktion ausgeht (vgl. Kapitel III). Nur dann verläuft der Graph unabhängig vom Wert des Parameters a durch die festen Aufhängepunkte an den Türmen. Wie man leicht nachrechnet, ist . Mit kann man dann argumentieren, dass für x=0 die Krümmung um so geringer wird, je größer a wird. Dass der Winkel zwischen Seil und Turm bei straffer gespanntem Seil dichter an 90° heran geht, ist eigentlich trivial und erfordert keine Berechnung.
Ich unterstelle, der Autor dieser Aufgabe kennt zwar die cosh-Funktion, hat sich aber nicht sehr intensiv mit der Gleichung einer Kettenlinie beschäftigt.