Tecnicas de conteo:
Tecnicas de conteo:
LAS TECNICAS DE CONTEO
Son aquellas que son usadas para enumerar eventos dificiles de cuantificar. La numeracion de puntos en un espacio muestral, en ocasiones es dificil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar. En este caso se recurre al analisis combinatorio, que es una manera mas sofisticada de contar.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
1.-Si un evento puede suceder o realizarse de "n" maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de "n1" maneras diferentes y asi sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de "n1" * "n2" * "n3".....
REGLAS GENERALES DEL CONTEO
1-regla del producto(multiplicacion)-
--Si los eventos A y B pueden ocurrir de "m" y "n" maneras distintas respectivamente, entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado es "m" * "n".
Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El numero total de posibilidades es el producto del numero de posibilidades de cada evento. Por ejemplo, si los eventos "A", "B", "C" y "D" pueden ocurrir de "m", "n", "o" y "p" maneras distintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estos eventos pueden ocurrir en ese orden es, "m" * "n" * "o" * "p".
~Ejemplo:
1.-Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y
4 blusas ¿De cuantas maneras puede combinar las prendas?
SOLUCION:
Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z=2), los pantalones
de 3 maneras(P=3), y las blusas de 4(B=4).Entonces Z*P*B= 2*3*4= 24. Existen 24
posibilidades de combinar las prendas.
2.-¿Cuantos juegos de placas de circulacion para automoviles pueden fabricarse, si se utilizan 3 digitos
y tres letras(en ese orden), si no se puede repetir ningun digito ni letra en cada placa, ni se puede
utilizar el cero, las letras O, Ñ y W.
SOLUCION:
Para el primer digito (D1) existen 9 posibilidades al quedar excluido el "0"; para el
segundo digito (D2) hay 8 alternativas, al no poder usar el "0" ni el usado en el primer
espacio; para el tercer digito (D3) quedan 7 posibilidades.Para la primera letra (L1),
se tienen 24 alternativas, ya que de las 27 letras del abecedario, 3 estan restringidas;
para la segunda letra (L2) se tienen 23 alternativas y para la letra (L3) quedan 22
posibilidades, por lo que:
(D1)*(D2)*(D3)*(L1)*(L2)*(L3)= 9*8*7*24*23*22= 6120576. Se pueden fabricar
6120576 juegos de placas con esas carcteristticas.
2.- REGLA DE LA SUMA
~Si una primera tarea puede realizarse de "m" formas y una segunda tarea puede realizarse de "n" formas y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de "m"+"n" formas.
EJEMPLO:
1.-Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofia. Si un estudiante
quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma
puede elegir entre 40+50= 90 libros.
(NOTA: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofia, sino historia o
filosofia)
La regla puede ampliarse a mas de dos tareas, siempre que ningún par de ellas
pueda ocurrir simultáneamente.
Permutaciones
~Las permutaciones de un numero "n" de objetos de un conjunto es cualquiera de las diferentes
maneras de ubicar esos objetos en un orden definido.
*Se utiliza el simbolo (nPn ó P(n) cuando se toman las permutaciones de igual
numero 
de elementos u objetos del conjunto.
~Si se desean ordenar objetos diferentes de una linea, el primer objetos se puede escoger de maneras, el segundo de (n-1); y el tercero de (n-2) y asi, sucesivamente, hasta 1.
nPn= P(n)= (n)(n-1) (n-2)....(1)= n!
EJEMPLOS:
~ 1.-¿De cuantas maneras se pueden permutar los 3 digitos del numero 478?
SOLUCION:
P3=P(3)= 3*2*1= 3!=6
Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.
Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño (r) menor al numero de elementos del conjunto, se utilizan indistintamente los simbolos (nPr) ó P(n,r).
De un grupo de objetos, deseamos ordenar (r) objetos de una linea. El primer objeto se puede escoger de maneras; el segundo de (n-1) y asi, sucesivamente, de manera que el ultimo de ellos sera (n-(r-1)= n-r+1.
2.- ¿Cuantas permutaciones de 2 letras se puede formar a partir de las 5 vocales?
SOLUCION:
nPr= 5P3= n!/(n-r)! = 5!/(5-2)! = 5!/3!= 20.
Las permutaciones son: ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue,
ui, uo.
3.-¿ De cuantas maneras pueden sentarse 12 personas en una banca que solo tiene
capacidad para 7?
SOLUCION:
nPr= 12P7= n!/(n-r)! =12!/5!= 3991680.
CONTENIDO DEL CURSO DE MATEMATICAS DISCRETAS SOBRE PERMUTACIONES
1.- PERMUTACIONE
A
B
C
D
2.- PERMUTACIONES
ab ba ca da P1: elegir la 1° letra
ac bc cb db P2: elegir la 2° letra
ad bd cd dc hay 34*3= 12
3.- PERMUTACIONES
P1: elegir la 1° letra 4*3*2=12 resultados
P2: elegir la 2° letra 3 permutaciones.
P3: elegir la 3° letra
4.-PERMUTACIONES
P1: elegir la 1° letra.
P2: elegir la 2° letra. 4*3*2*1= 24.
P3: elegir la 3° letra 4 permutaciones posibles
P4: elegir la 4° letra.
de elementos u objetos del conjunto.
~Si se desean ordenar objetos diferentes de una linea, el primer objetos se puede escoger de maneras, el segundo de (n-1); y el tercero de (n-2) y asi, sucesivamente, hasta 1.
nPn= P(n)= (n)(n-1) (n-2)....(1)= n!
EJEMPLOS:
~ 1.-¿De cuantas maneras se pueden permutar los 3 digitos del numero 478?
SOLUCION:
P3=P(3)= 3*2*1= 3!=6
Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.
Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño (r) menor al numero de elementos del conjunto, se utilizan indistintamente los simbolos (nPr) ó P(n,r).
De un grupo de objetos, deseamos ordenar (r) objetos de una linea. El primer objeto se puede escoger de maneras; el segundo de (n-1) y asi, sucesivamente, de manera que el ultimo de ellos sera (n-(r-1)= n-r+1.
2.- ¿Cuantas permutaciones de 2 letras se puede formar a partir de las 5 vocales?
SOLUCION:
nPr= 5P3= n!/(n-r)! = 5!/(5-2)! = 5!/3!= 20.
Las permutaciones son: ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue,
ui, uo.
3.-¿ De cuantas maneras pueden sentarse 12 personas en una banca que solo tiene
capacidad para 7?
SOLUCION:
nPr= 12P7= n!/(n-r)! =12!/5!= 3991680.
CONTENIDO DEL CURSO DE MATEMATICAS DISCRETAS SOBRE PERMUTACIONES
1.- PERMUTACIONE
A
B
C
D
2.- PERMUTACIONES
ab ba ca da P1: elegir la 1° letra
ac bc cb db P2: elegir la 2° letra
ad bd cd dc hay 34*3= 12
3.- PERMUTACIONES
P1: elegir la 1° letra 4*3*2=12 resultados
P2: elegir la 2° letra 3 permutaciones.
P3: elegir la 3° letra
4.-PERMUTACIONES
P1: elegir la 1° letra.
P2: elegir la 2° letra. 4*3*2*1= 24.
P3: elegir la 3° letra 4 permutaciones posibles
P4: elegir la 4° letra.