Interpretation der Ableitung als Maß der Veränderung einer Umgebung
Üblicherweise wird die Ableitung einer Funktion an einer Stelle grafisch als Tangentensteigung des Graphen an der Stelle interpretiert. Je größer die Tangentensteigung ist, desto steiler ist dann der Graph. Die Ableitung ist daher ein Maß.
Man kann die Ableitung aber auch numerisch als Maß der Veränderung einer Umgebung betrachten.
In diesem Applet kannst du eine Funktion mit einem Funktionsterm eingeben und eine Umgebung um einen Punkt einstellen. Voreingestellt ist der Funktionsterm .
Im Anschluss wird die -Umgebung um , also , durch die Funktion ausgewertet. Dabei entstehen der Funktionswert und eine Änderung , die sich aus der Umgebung ergibt. Die Änderung ergibt sich aus .
Im 3D-Grafikfenster ist der funktionale Zusammenhang zwischen und grafisch dargestellt.
Tipp: Mithilfe des Verschiebe-Grafik-Ansicht-Werkzeugs kanns du die -Achse anpassen.
Verändere die Stelle und die Länge der Umgebung . Beschreibe deine Beobachtung.
Welcher Zusammenhang besteht näherungsweise zwischen , und für die Funktion mit ?
Wie kannst du den funktionalen Zusammenhang genauer untersuchen?
Erläutere die Bedeutung, wenn negativ ist?
Begründe mithilfe einer Rechnung: Für die Funktion mit erhält man näherungsweise .
Tipp: Starte mit
Untersuche den funktionalen Zusammenhang zwischen und anderen Funktionen. Stelle in der 3D-Grafikansicht die -Achse mithilfe des Werkzeugs Verschiebe-Grafik-Ansicht geeignet ein.