Racionalización
Racionalizar una expresión fraccionaria es dar una equivalente en la cual no aparezcan radicales en el denominador.
Vamos a distinguir 3 casos, de menor a mayor dificultad.
Primer caso: raíz cuadrada en el denominador
Cuando tenemos una única raíz cuadrada en el denominador es muy fácil librarse de ella. Una raíz cuadrada se va elevándola al cuadrado, o lo que es lo mismo, multiplicándola por si mismo.
Al igual que en los siguientes casos, si multiplicas el denominador por algo, tienes que multiplicador el numerador por lo mismo para obtener una fracción equivalente.
Ejemplo:
Practicar con el siguiente ejercicio que viene a continuación. Podeis hacerlo tranquilamente en una hoja y compararlo:
Segundo caso: raíz de cualquier índice en el denominador.
Imaginemos que tenemos en el denominador una raíz de índice 8 (n) y que dentro de dicha raíz hay una potencia cuyo exponente no es múltiplo de 8 (múltiplo de n). Para poder quitar dicha raíz, el exponente que hay dentro tendría que ser múltiplo de 8 (múltiplo de n). ¿Cómo consigo entonces librarme de la raíz?, muy sencillo. Vamos a multiplicar dicha raíz por otra de índice 8 (n) y que tenga dentro una potencia de la misma base que teníamos con un exponente que complete el que tenemos hasta 8 (n) o múltiplo de 8 (múltiplo de n). Para que tengamos la misma fracción el numerador tendrá que multiplicarse por lo mismo.
Con un ejemplo se verá más sencillo:
En este caso el exponente que tenemos dentro es 6, lo que nos falta son 2 unidades por lo que tendremos que multiplicar numerador y denominador por , es decir:
Practicar con el siguiente ejercicio que viene a continuación. Podeis hacerlo tranquilamente en una hoja y compararlo:
Tercer caso: suma o diferencia en el denominador donde uno o los dos términos son raíces cuadradas.
En este tipo de casos ya no nos vale multiplicar por una raíz ya que nos va a quedar otra. Una raíz cuadrada se nos va elevándola al cuadrado y nos tenemos que asegurar que los dos términos queden elevados al cuadrado para deshacernos de las dos posibles raíces. Para ello vamos a recurrir a la siguiente identidad notable:
El método en si es simple ya que si tenemos la suma, multiplicamos por las diferencia numerado y denominador, y si tenemos la diferencia multiplicamos por la suma.
Veámoslo con un ejemplo:
En este caso en el denominador tenemos por lo que hay que multiplicar es por numerador y denominador:
Practicar con el siguiente ejercicio que viene a continuación. Podeis hacerlo tranquilamente en una hoja y compararlo:
Agradecimientos:
Las actividades son modificaciones (pequeñas) del trabajo de Débora Pereiro Carbajo (https://www.geogebra.org/u/deborapereiro), gracias por tantas aportaciones a esta comunidad.