m2s4 FACTORIZACION DE POLINOMIOS
La factorización de polinomios es el proceso de expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios más simples.
Por ejemplo si tenemos el polinomio;
La factorización de este polinomio expresado en producto seria:
Conceptos que te pueden interesar
Tipos o casos de factorización
Factor común: El factor común de un polinomio es el elemento que se encuentra contenido en todos los términos del polinomio, el cual se extrae para conformar un producto. Ejemplo:
el factor común es X entonces:
Diferencia de cuadrados:
La diferencia de cuadrados es una identidad algebraica que se aplica cuando un polinomio es el resultado de la resta de dos términos cuadrados. La factorización de este tipo de polinomios implica reconocer la diferencia de cuadrados y aplicar la fórmula 
.
Por ejemplo, considera el polinomio 
. Aquí, podemos ver que es una diferencia de cuadrados, ya que 
es el cuadrado de 
y 
es el cuadrado de 
. Por lo tanto, podemos factorizar como 
.
Suma y diferencia de cubos:
La suma y diferencia de cubos son identidades algebraicas que se aplican cuando un polinomio es el resultado de sumar o restar dos términos cúbicos. La factorización de este tipo de polinomios implica reconocer la suma o diferencia de cubos y aplicar las fórmulas 
y 
.
Por ejemplo, considera el polinomio 
. Aquí, podemos ver que es una suma de cubos, ya que 
es el cubo de y 
es el cubo de . Por lo tanto, podemos factorizar como 
.
Trinomio cuadrado perfecto:
Los trinomios cuadrados perfectos son polinomios cuadráticos que pueden ser expresados como el cuadrado de un binomio. Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, debemos verificar si el término cuadrático es el cuadrado de un término lineal y si el término constante es el cuadrado del mismo número. La factorización de estos trinomios implica aplicar la fórmula de cuadrado perfecto 
.. Ejemplo:
Trinomio de la forma x^2+bx+c:
En este caso el primer termino tiene raíz exacta pero el ultimo termino no tiene raíz cuadrada exacta, ubicando dos números que multiplicados de C y sumados o restados de el coeficiente del segundo termino, de esta forma conformar el producto. Ejemplo:
12=4.(-3)
1=4-3
entonces;
Trinomio de la forma ax^2+bx+c
A diferencia del caso anterior el primer termino su coeficiente es diferente a uno, donde este termino y el tercero no tienen raíz exacta, para ello es necesario convertir el trinomio en un polinomio de cuatro términos. Esto se logra descomponiendo el segundo termino en dos términos semejantes permitiendo factorizar el nuevo polinomio por agrupación de términos. Ejemplo:
donde
agrupamos términos
Aplicamos otro caso como factor común
Ejercicio 1: Factorización de 
Solución
Paso 1: Para factorizar , primero necesitamos encontrar dos números cuyo producto sea 
y cuya suma sea 
. Estos números son y 
, ya que 
y 
.
Paso 2: Ahora, calculamos la raíz del primer término del polinomio:
Paso 3: Luego, añadimos la raíz encontrada en el paso anterior al desarrollo de la factorización:
Paso 4: Por último, agregamos los números definidos en el paso 1 al desarrollo de la factorización:
Ejercicio 2: Factorización de 
Solución
Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea 
y cuya suma sea 
. Estos números son 
y 
, ya que 
y 
.
Paso 2: Descomponemos el término lineal en 2 términos cuyos coeficientes son los números hallados anteriormente:
Paso 3: Extraemos factor común «4x» en el primer y segundo término y «7» en el tercer y cuarto término, nos queda::
O lo que es lo mismo:
Paso 4: Ahora podemos extraer factor común «x-1» y nos queda:
Por lo tanto, 
Ejercicio 3: Factorización de 
Solución
Paso 1: Dado que es una diferencia de cuadrados, podemos utilizar la fórmula de diferencia de cuadrados 
. Aquí, 
y 
, ya que 
.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados:
Ejercicio 4: Factorización de 
Solución
Paso 1: Observamos que es una suma de cubos, por lo que podemos aplicar la fórmula de suma de cubos 
. Aquí, y , ya que 
.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de suma de cubos:
Ejercicio 5: Factorización de 
Solución
Paso 1: Reconocemos que es una diferencia de cuadrados, ya que 
es el cuadrado de 
y 
es el cuadrado de 
. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados:
Ejercicio 6: Factorización de 
Solución
Paso 1: Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto, ya que 
es el cuadrado de y es el cuadrado de . Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto 
.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
Ejercicio 7: Factorización de 
Solución
Paso 1: Dado que es un trinomio cuadrado perfecto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto . Aquí, y , ya que .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
Ejercicio 8: Factorización de 
Solución
Paso 1: Reconocemos que es una diferencia de cubos, ya que 
es el cubo de y 
es el cubo de . Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cubos.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:
Por supuesto, aquí tienes los ejercicios restantes:
Ejercicio 9: Factorización de 
Solución
Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea 
y cuya suma sea 
. Estos números son 
y 
, ya que 
y 
.
Paso 2: Descomponemos el segundo término en dos términos cuyos coeficientes son los números hallados en el paso 1.
Paso 3: Extraemos factor común «3x» del primer y segundo término y «-2» del tercer y cuarto término:
Paso 4: Ahora extraemos factor común «x-2» y nos queda:
Finalmente:
Ejercicio 10: Factorización de 
Solución
Paso 1: Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto, ya que 
es el cuadrado de 
y 
es el cuadrado de . Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
Ejercicio 11: Factorización de 
Solución
Paso 1: Observamos que es una diferencia de cubos, ya que 
es el cubo de y 
es el cubo de . Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cubos.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:
Ejercicio 12: Factorización de 
Solución
Paso 1: Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de y 
es el cuadrado de 
. Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
La factorización de este polinomio expresado en producto seria:
Conceptos que te pueden interesar
Tipos o casos de factorización
Factor común: El factor común de un polinomio es el elemento que se encuentra contenido en todos los términos del polinomio, el cual se extrae para conformar un producto. Ejemplo:
el factor común es X entonces:
Diferencia de cuadrados:
La diferencia de cuadrados es una identidad algebraica que se aplica cuando un polinomio es el resultado de la resta de dos términos cuadrados. La factorización de este tipo de polinomios implica reconocer la diferencia de cuadrados y aplicar la fórmula .
Por ejemplo, considera el polinomio . Aquí, podemos ver que es una diferencia de cuadrados, ya que es el cuadrado de y es el cuadrado de . Por lo tanto, podemos factorizar como .
Suma y diferencia de cubos:
La suma y diferencia de cubos son identidades algebraicas que se aplican cuando un polinomio es el resultado de sumar o restar dos términos cúbicos. La factorización de este tipo de polinomios implica reconocer la suma o diferencia de cubos y aplicar las fórmulas y .
Por ejemplo, considera el polinomio . Aquí, podemos ver que es una suma de cubos, ya que es el cubo de y es el cubo de . Por lo tanto, podemos factorizar como .
Trinomio cuadrado perfecto:
Los trinomios cuadrados perfectos son polinomios cuadráticos que pueden ser expresados como el cuadrado de un binomio. Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, debemos verificar si el término cuadrático es el cuadrado de un término lineal y si el término constante es el cuadrado del mismo número. La factorización de estos trinomios implica aplicar la fórmula de cuadrado perfecto .. Ejemplo:
Trinomio de la forma x^2+bx+c:
En este caso el primer termino tiene raíz exacta pero el ultimo termino no tiene raíz cuadrada exacta, ubicando dos números que multiplicados de C y sumados o restados de el coeficiente del segundo termino, de esta forma conformar el producto. Ejemplo:
12=4.(-3)
1=4-3
entonces;
Trinomio de la forma ax^2+bx+c
A diferencia del caso anterior el primer termino su coeficiente es diferente a uno, donde este termino y el tercero no tienen raíz exacta, para ello es necesario convertir el trinomio en un polinomio de cuatro términos. Esto se logra descomponiendo el segundo termino en dos términos semejantes permitiendo factorizar el nuevo polinomio por agrupación de términos. Ejemplo:
donde
agrupamos términos
Aplicamos otro caso como factor común
Ejercicio 1: Factorización de
Solución
Paso 1: Para factorizar , primero necesitamos encontrar dos números cuyo producto sea y cuya suma sea . Estos números son y , ya que y .
Paso 2: Ahora, calculamos la raíz del primer término del polinomio:
Paso 3: Luego, añadimos la raíz encontrada en el paso anterior al desarrollo de la factorización:
Paso 4: Por último, agregamos los números definidos en el paso 1 al desarrollo de la factorización:
Ejercicio 2: Factorización de
Solución
Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea y cuya suma sea . Estos números son y , ya que y .
Paso 2: Descomponemos el término lineal en 2 términos cuyos coeficientes son los números hallados anteriormente:
Paso 3: Extraemos factor común «4x» en el primer y segundo término y «7» en el tercer y cuarto término, nos queda::
O lo que es lo mismo:
Paso 4: Ahora podemos extraer factor común «x-1» y nos queda:
Por lo tanto,
Ejercicio 3: Factorización de
Solución
Paso 1: Dado que es una diferencia de cuadrados, podemos utilizar la fórmula de diferencia de cuadrados . Aquí, y , ya que .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados:
Ejercicio 4: Factorización de
Solución
Paso 1: Observamos que es una suma de cubos, por lo que podemos aplicar la fórmula de suma de cubos . Aquí, y , ya que .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de suma de cubos:
Ejercicio 5: Factorización de
Solución
Paso 1: Reconocemos que es una diferencia de cuadrados, ya que es el cuadrado de y es el cuadrado de . Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados:
Ejercicio 6: Factorización de
Solución
Paso 1: Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de y es el cuadrado de . Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
Ejercicio 7: Factorización de
Solución
Paso 1: Dado que es un trinomio cuadrado perfecto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto . Aquí, y , ya que .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
Ejercicio 8: Factorización de
Solución
Paso 1: Reconocemos que es una diferencia de cubos, ya que es el cubo de y es el cubo de . Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cubos.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:
Por supuesto, aquí tienes los ejercicios restantes:
Ejercicio 9: Factorización de
Solución
Paso 1: Buscamos dos números cuyo producto sea y cuya suma sea . Estos números son y , ya que y .
Paso 2: Descomponemos el segundo término en dos términos cuyos coeficientes son los números hallados en el paso 1.
Paso 3: Extraemos factor común «3x» del primer y segundo término y «-2» del tercer y cuarto término:
Paso 4: Ahora extraemos factor común «x-2» y nos queda:
Finalmente:
Ejercicio 10: Factorización de
Solución
Paso 1: Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de y es el cuadrado de . Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto:
Ejercicio 11: Factorización de
Solución
Paso 1: Observamos que es una diferencia de cubos, ya que es el cubo de y es el cubo de . Por lo tanto, aplicamos la fórmula de diferencia de cubos.
Paso 2: Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:
Ejercicio 12: Factorización de
Solución
Paso 1: Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de y es el cuadrado de . Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de cuadrado perfecto .
Paso 2: Aplicamos la fórmula de cuadrado perfecto: