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Sechs-Eck-Bedingung mit mathematica

Author:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Februar 2022)

In mathematica ist es möglich, mit komplexen Vektoren wie mit reellen Vektoren zu rechnen. Zugrunde legen wir den 3-dimensionalen komplexen Vektorraum . Das euklidische Koordinatensystem (s.u.) wird eins-zu-eins in mathematica definiert und übertragen.
  • Das Kreuzprodukt [ , ] wird für komplexe Vektoren wie für reelle Vektoren des euklidischen 3-dimensionalen Vektorraumes berechnet: Cross[g1,g2]
  • Das "Skalarprodukt" (?) wird ebenfalls analog berechnet: g1.g2 ; es ist komplex natürlich nicht positiv-definit! Dies ist eine Frage der Definition: In wikipedia (und wahrscheinlich im üblichen Fach-Sprach-Gebrauch) wird für komplexe Vektoren eine positiv-definite Hermitesche Form als "Skalarprodukt " zugrundegelegt. In mathematica ist eine symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform für komplexe Vektoren.
  • Die für 2 (Geraden-)Vektoren g1 ,g2 aus erklärte Hermitesche Form g1 g2 läßt sich nahezu problemlos definieren und rechnerisch nutzen; man muß nur dafür sorgen, dass die Variablen und als reelle Variablen erkannt werden.
  • Die 6-Eck-Bedingung Toolbar Image läßt sich einfach aus 3 Teilen zusammensetzen.
Mit dieser 6-Eck-Bedingung in mathematica berechnet sich in erstaunlich sehr kurzen Rechenzeiten, dass in allen Fällen, die in diesem book-Kapitel aufgeführt werden, 6-Ecknetze aus Kreisen von 3 Kreisbüscheln vorliegen. Überdies wird in den Fällen, für welche wir nicht direkt begründen konnten, dass es sich nicht um 6-Eck-Netze handelt, durch sehr lange Rechenterme mit hohen Potenzen in und deutlich, dass keine 6-Eck-Netze vorliegen. Natürlich ersetzt dies keine geometrische Erlärung! Hier noch einmal eine kurze Übersicht über die Fälle, in denen 3 Infinitesimale g1, g2, g3 ein 6-Eck-Netz erzeugen:
  • Fall1: 3 Kreisbüschel, deren Achsen im Raum, dh. im Quadrik-Modell, durch einem gemeinsamen Punkt gehen; diesen Fall haben wir in mathematica nicht überprüft.
  • Fall 2: 3 paarweise kommutative Infinitesimale: [gi,gj] = 0
  • Fall 3: 2 parabolische Kreisbüschel mit verschiedenen Polen p1, p2 mit einem gemeinsamen Kreis, das elliptische und das hyperbolische Kreisbüschel mit den Polen p1, p2: ein 6-Eck-4-Netz mit Diagonalen.
  • Fall 4: 2 beliebige parabolische Kreisbüschel mit verschiedenen Polen p1, p2 und ein elliptisches Kreisbüschel mit diesen Polen.
  • Fall 5: Ein elliptisches Kreisbüschel mit den Polen p1 und p2, die Isogonaltrajektorien dazu mit einem vorgegebenen Winkel und ein parabolisches Kreisbüschel mit einem der Pole.
  • Fall 6: Ein hyperbolisches Kreisbüschel und zwei zueinander polare parabolische Kreisbüschel mit einem der Pole.
  • Fall 7: Drei elliptische Kreisbüschel, die paarweise je einen von drei Polen p1, p2, p3 gemeinsam haben. Die Isogonal-Trajektorien (Loxodrome) zu einem gemeinsamen Winkel bilden ebenfalls ein 6-Eck-Gewebe.
  • Fall 8: In derselben Situation bilden 2 der drei elliptischen Kreisbüschel zusammen mit den -Isogonal-Trajektorien des 3. elliptischen Kreisbüschels ein 6-Eck-Gewebe.
  • Fall 9: Ein hyperbolisches Kreisbüschel mit den Polen p1, p2, zwei elliptische Kresibüschel mit den Polen p1, p3 bzw. p2, p3, und dasjenige parabolische Kreisbüschel mit dem Pol p3, dessen Kreise orthogonal zum Kreis durch p1, p2, p3 sind, bilden ein 6-Eck-4-Gewebe.
  • Fall 10: Zu einer ON-Basis, das sind die Punktepaare, die als Schnitt von 3 paarweise orthogonalen Kreisen entstehen, gibt es 6 Kreisbüschel mit diesen Punkte-Paaren als Pole. Je drei dieser Kreisbüschel bilden ein 6-Eck-Gewebe
Für einige Variationen der oben aufgeführten Fälle, die in der Aufzählung zu Recht nicht erscheinen, ergibt die rechnerische Kontrolle mit mathematica, dass die 6-Eck-Bedingung nicht erfüllt ist; meist mit sehr langen Rechenzeiten, und als Ergebnis sehr lange Terme in und , mit Potenzen bis zur 18-ten Ordnung! Die Fälle 2, 5, 7 und 8 dürften auch die einzigen Fälle zu sein, in welchen Loxodrome beteiligt sein können!

6-Eck-Netze aus den Kreisen von 3 Kreisbüscheln: in mathematica

euklidKOSFazitAlleFaelleSite.nb.pdf

euklidKOSFazitAlleFaelleSite.nb.pdf

Euklidisches Koordinaten-System

Im komplexen, 3-dimensionalen Vektorraum mit nicht-ausgearteter quadratischer Form wird eine orientierte Basis mit ausgewählt, für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen:
Die Bezeichnung ist gewählt, weil sich dieser Vektorraum als Geradenraum des Kugelmodells der Möbiusebene deuten läßt. Siehe zu diesem Übertragungsprinzips das book-Kapitel Möbius - Geradenraum Das Lie-Produkt [ , ] wird definiert wie im euklidischen Vektorraum das Kreuzprodukt :
  • durch die eindeutig bestimmte Linearform für alle
ist damit nichts anderes als eine Komplexifizierung des euklidischen Vektorraumes. Bezogen auf eine ON-Basis , , erhält man die Darstellung
Die PUNKTE (projektiv gesehen) auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von erreicht man durch die komplexe Parametrisierung:
Es besteht somit eine 1 zu 1 Beziehung zwischen den Möbius-Punkten in und den PUNKTEN auf . Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen erweist sich als isomoph zu . Mehr noch: ist die LIE-Algebra dieser Gruppe! Die Vektoren lassen sich deuten als Berührgeraden im Quadrik-Modell, bzw. als parabolische Kreisbüschel. Für zwei Möbius-Punkte , repräsentiert durch ihre Berührgeraden ist
  • und für die Verbindungsgerade gilt .
Die Verbindungsgeraden lassen sich als elliptische Kreisbüschel mit den Polen deuten, die polaren Geraden entsprechend als hyperbolische Kreisbüschel. Die Vektoren sind die infinitesimalen Erzeugenden von Loxodromen zum Winkel für die besagten Kreisbüschel.

Übertragungsprinzip

Im komplexen Vektorraum sei ein euklidisches Koordinatensystem ausgezeichnet. Wie berechnet man zu einer infinitesimalen Bewegung die Wirkung der durch sie erzeugten Bewegung auf die Punkte ? Zunächst berechnet man die Pole, bzw. den Pol der Bewegung:
  • Die komplexe quadratische Gleichung besitzt stets zwei oder eine doppelt-zählende Lösung .
Daher gibt es nur zwei Typen von infinitesimalen Bewegungen : 1-polige und 2-polige. W-Bewegungen - W-Kurven W-Bewegungen werden die 1-Parameter-Untergruppen der Bewegungsgruppe einer Geometrie genannt; W-Kurven sind die Bahnen der W-Bewegungen. Für die Bewegungsgruppe der Möbius-Geometrie definieren wir für die infinitesimale Bewegung:
  • durch für alle
und damit die 1-Parameter-Untergruppe
  • , der Parameter kann reell, aber auch komplex sein.
Wie oben gibt es wesentlich nur zwei Typen: 1-polige - und 2-polige Bewegungen; diese werden exemplarisch unten ermittelt.

1-polig: parabolische Bewegungen

Man berechnet für , in der -Ebene
  • mit den Bahnkurven: durch -
Dies folgt mit den oben angegebenen Regeln des Euklidischen Koordinatensystems. Die W-Bewegung besteht aus einer 1-parametrischen Gruppe von Verschiebungen. Ist allgemeiner mit und eine parabolische infinitesimale Bewegung, so berechnet man entsprechend die Bahnkurven der parabolischen 1-parametrischen Bewegung in der -Ebene:
  • die Kurven sind Kreise durch Punkte , die sich in berühren.
Die Möbiustransformation bildet auf ab, ist die Umkehr-Transformation. Die Vektorfelder berechnen sich mit bzw. mit Siehe das book-Kapitel Kreisbüschel oder Lineare Vektorfelder.

+ + + w-Ebene + + + + + + + + + + + + + + + + z-Ebene

2-polig: elliptische oder hyperbolische oder loxodromische Bewegungen

Exemplarisch ergibt sich für in der -Ebene mit und wie oben im Euklidischen KOS erklärt.
Die Bahnkurven in der -Ebene sind für reelles Ursprungsgeraden, für imaginäres konzentrische Kreise um 0, und sonst logarithmische Spiralen um 0. Ist in der -Ebene (s.o) für 2 Pole erklärt, so ergeben sich die Bahnkurven
  • durch
Reelles führt auf elliptische Kreise durch , imaginäres auf hyperbolische Kreise um , und sonst erhält man Loxodrome um . Zwischen den Ebenen vermitteln die Möbius-Transformationen und . Die Vektorfelder sind wieder , bzw. ; siehe das book-Kapitel Kreisbüschel oder Lineare Vektorfelder. Beweglich sind im Applet .

+ + + + + + + w-Ebene + + + + + + + + + + + + + + + + z-Ebene

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