Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'
Lernvoraussetzungen
- Grundvorstellung zu Funktionen
- anschauliche Vorstellung von Hoch- und Tiefpunkten
Aufgabe 1:
Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f‘ bestehen. Finde möglichst viele. Betrachte dabei auch besondere Punkte.
Stelle in einer Tabelle gegenüber:
Eigenschaft von f Eigenschaft von f' Der Graph von f steigt streng monoton im
Intervall I Der Graph von f' ...
Aufgabe 2:
Erkläre, welche Besonderheit für die Punkte (-2|f(-2)), (1|f(1)) und (3|f(3)) gilt, und gib die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Ableitungsfunktion f‘ an. Ordne begründet die Begriffe Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt zu. Tipp: Wenn dir die Begriffe unklar sind, kann das Kontrollfeld „Extrempunkte zeichnen“ dir helfen.
Aufgabe 3:
Beurteile die beiden Aussagen 1 und 2: Aussage 1: Wenn f an der Stelle x einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat, dann hat f‘ an der Stelle x eine Nullstelle. Aussage 2: Wenn f‘ an der Stelle x eine Nullstelle hat, dann hat f an der Stelle x einen Hoch- oder einen Tiefpunkt.
Aufgabe 4:
In Aufgabe 3 hat du gesehen, dass an der Stelle eines Hoch- oder Tiefpunkts immer gelten muss: f‘(x) = 0. Man spricht von der notwendigen Bedingung. Sie reicht aber offenbar nicht aus, wenn Extremwerte gesucht werden, denn diese Bedingung ist auch im Sattelpunkt (1|f(1)) erfüllt.
Untersuche mit Hilfe des Geogebra-Applets die Ableitungsfunktion f‘ in der Umgebung der besonderen Punkte. Halte deine Beobachtungen in der Tabelle fest.
Wenn... Dann..... ... an der Stelle x ein Hochpunkt vorliegt,
Aufgabe 5:
Formuliere nun zusammenfassend Bedingungen, so dass richtige Aussagen entstehen:
Eigenschaft der Ableitungsfunktion f' Eigenschaft von f dann ist f im Intervall I streng monoton steigend. dann ist f im Intervall I streng monoton steigend. dann hat f an der Stelle x einen Hochpunkt. dann hat f an der Stelle x einen Tiefpunkt. dann hat f an der Stelle x einen Sattelpunkt.