Grafici spazio-tempo nel moto circolare uniforme
Introduzione
Nel seguito analizzeremo i grafici spazio tempo delle componenti cartesiane della posizione di un punto che compie un moto circolare uniforme.
Come vedremo, questi grafici sono ottenuti in maniera relativamente semplice da quelli delle funzioni e .
Il moto circolare uniforme
Un punto che compie un moto circolare uniforme si muove su una circonferenza con velocità costante in modulo.
Poiché la distanza distanza del punto dal centro della circonferenza si mantiene costante e pari al raggio della circonferenza stessa, la posizione del punto può essere individuata da un angolo, che di solito viene indicato con la lettera e chiamato fase.
Proprietà della fase
- Normalmente gli angoli (misurati in radianti) sono compresi nell'intervallo . È però utile considerare angoli che assumono valori su tutta la retta reale.
- Per esempio l'angolo , pur non essendo compreso nell'intervallo indicato, corrisponde ad una posizione sul cerchio. Tale posizione è quella che si raggiunge compiendo un giro completo sulla circonferenza (ossia ) e continuando per un altro ottavo di giro (ossia ).
- Ovviamente, poiché ci troviamo su una circonferenza, la posizione raggiunta è la stessa che è associata all'angolo , ovvero ad un ottavo di giro.
- La stessa posizione è associata ad altri angoli. Per fare solo alcuni esempi: (due giri e un ottavo) e (tre giri e un ottavo), (sette ottavi di giro in senso orario).
Nella seguente costruzione dinamica consideriamo due giri di un moto circolare uniforme, ossia un moto in cui la fase va da a .
Controlli
- Premendo i tre tasti in alto a destra è possibile avviare, fermare e ri-inizializzare l'animazione.
- Agendo sul cursore è possibile modificare il raggio della traiettoria circolare.
- Sbarrando la casella fase l'angolo di fase viene evidenziato da un arco di spirale.
- Sbarrando la casella "grafico x" viene visualizzato il grafico dell'ascissa del punto in funzione della fase. Se visualizzata, quest'ultima compare come un segmento nel grafico.
- Per comprendere meglio ciò che sta viene visualizzato, è utile sbarrare la casella "proiezione x", che mostra come l'ascissa del punto venga proiettata nel grafico.
- Sbarrando la casella "grafico y" viene visualizzato il grafico dell'ordinata del punto in funzione della fase. Se visualizzata, quest'ultima compare come un segmento nel grafico.
- Per comprendere meglio ciò che sta viene visualizzato, è utile sbarrare la casella "proiezione y", che mostra come l'ordinata del punto venga proiettata nel grafico.
- La casella griglia permette di visualizzare alcuni valori significativi della fase (che corrispondono a "quarti di giro").
Il grafico del coseno
Poiché per un punto su una circonferenza di raggio si ha , il grafico del coseno è quello che associa l'ascissa al corrispondente angolo per un punto su una circonferenza di raggio .
Come si può vedere nella costruzione qui sopra, il grafico del coseno ha le seguenti proprietà:
- ha un andamento oscillante compreso nella "striscia" di piano ;
- parte dal valore e inizialmente decresce;
- assume il valore massimo quando l'angolo assume i valori con ;
- assume il valore minimo quando l'angolo assume i valori con ;
- interseca l'asse delle ascisse quando l'angolo assume i valori , con ;
Come si può vedere, l'unità elementare del grafico del coseno parte dal valore , decresce fino a dopo un angolo , corrispondente ad un quarto di giro, decresce ancora fino a in un altro quarto di giro, poi riprende a crescere tornando a in un quarto di giro, e infine ritorna al valore iniziale dopo un altro quarto di giro.
Il grafico del seno
Poiché per un punto su una circonferenza di raggio si ha , il grafico del seno è quello che associa l'ordinata al corrispondente angolo per un punto su una circonferenza di raggio . Come si può vedere nella costruzione qui sopra, il grafico del seno ha le seguenti proprietà:
- ha un andamento oscillante compreso nella "striscia" di piano ;
- parte dal valore e inizialmente cresce;
- assume il valore massimo quando l'angolo assume i valori con ;
- assume il valore minimo quando l'angolo assume i valori con ;
- interseca l'asse delle ascisse quando l'angolo assume i valori , con ;
Come si può vedere, l'unità elementare del grafico del seno parte dal valore , cresce fino a dopo un angolo , corrispondente ad un quarto di giro, poi decresce nuovamente fino a in un altro quarto di giro, continua a decrescere fino a in un ulteriore quarto di giro, e infine ritorna al valore iniziale in un ultimo quarto di giro.
I grafici in funzione del tempo
Fino ad ora abbiamo esaminato i grafici in funzione della fase . Da questi possiamo ottenere abbastanza facilmente i grafici in funzione del tempo.
Basta infatti osservare che
Questo significa che Quindi un giro corrisponde a un periodo, mezzo giro a mezzo periodo, un quarto di giro a un quarto di periodo, e così via. Rappresentando il tempo sull'asse delle ascisse i due grafici qui sopra cambiano come segue. Per quanto riguarda il coseno
mentre per quanto riguarda il seno
Il ruolo del senso di rotazione e della fase iniziale
In realtà I grafici che abbiamo appena esaminato corrispondono al caso particolare in cui , con . In altre parole si riferiscono al caso in cui la fase iniziale è nulla, e l'oggetto sta ruotando in senso antiorario.
Nel caso più generale l'oggetto può ruotare anche in senso orario, e la fase iniziale non è nulla. Ricordiamo infatti che in generale
Dove può essere anche negativo.
È facile capire cosa succede nel caso di una rotazione antioraria.
- coseno: è la proiezione del punto sull'asse delle ascisse. Che il punto ruoti in senso orario o antiorario la proiezione ha lo stesso comportamento. Parte dal valore , arriva a , poi passa a , torna a e infine a . Tra un valore e l'altro trascorre un quarto di periodo. Questo significa che il grafico del coseno è lo stesso per entrambi i sensi di rotazione del punto. Questo ha a che fare con il fatto che il coseno è una funzione pari: .
- seno: è la proiezione del punto sull'asse delle ordinate. Quando il punto ruota in senso orario il seno passa da a , poi torna a , passa a ed infine torna a . In altre parole, anziché iniziare crescendo, come nel caso antiorario, inizia decrescendo. Rispetto al caso della rotazione antioraria il grafico del seno risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse. Questo ha a che fare con il fatto che il seno è una funzione dispari: .
È anche possibile comprendere l'effetto di una fase iniziale . Infatti la fase iniziale non è altro che la posizione angolare a cui l'oggetto si trova quando . Se è diversa da zero significa che l'oggetto parte da un punto della circonferenza che non corrisponde all'origine degli assi.
Se nella legge oraria della fase raccogliamo la velocità angolare e teniamo conto della sua relazione col periodo otteniamo:
dove abbiamo indicato
Questo significa che al tempo il grafico ha il valore che nel caso senza fase iniziale avrebbe avuto al tempo . Allora è abbastanza facile ottenere il grafico "con la fase iniziale" dal grafico "senza fase iniziale":- Se basta traslare il grafico all'indietro di un tratto .
- Se basta traslare il grafico in avanti di un tratto (infatti in questo caso anche )