3D Rechner Aufgaben 09.12.2024
Aufgabe 1
Bevor Sie sich mit dem Schnitt von Ebenen im dreidimensionalen Raum auseinandersetzen können müssen wir uns zunächst einmal zusammen die Benutzeroberfläche des 3D Rechners von GeoGebra anschauen.
Erst einmal ist es wichtig zu wissen, wie man zu dem 3D Rechner gelangt. Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten, welche jedoch nicht in diesem Applet durchgeführt werden können. Öffnen Sie hierfür einen neuen Tab und probieren Sie beide Möglichkeiten aus.
1. Bei jeder Einheit, die Sie in GeoGebra starten ist wie im folgenden Bild gezeigt
ein Dropdown Menü, in dem Sie zwischen den verschiedenen Rechnern wählen können.
Hier können Sie den 3D Rechner auswählen.
2. Eine andere Möglichkeit ist GeoGebra direkt als 3D Rechner im Browser zu öffnen.
2. Eine andere Möglichkeit ist GeoGebra direkt als 3D Rechner im Browser zu öffnen.
Aufgabe 2
Jetzt möchte ich Ihnen zeigen, wie Sie sich in der Oberfläche am besten zurechtfinden.
1. Mit dem Werkzeug „Bewegen“ dessen Ikon eine Mauscursor ist, können Sie Ihre
Ansicht verändern. In dem Sie mit linksklick auf die Oberfläche drücken und den Linken
Mausbutton gedrückt halten können Sie das kartesische Koordinatensystem und
sein Inhalt drehen.
2. Wenn Sie den Mausbutton in der Bewegung loslassen, dreht sich das
Koordinatensystem und sein Inhalt weiter. Dies gibt oft eine schöne Animation,
die alle Seiten einer Figur zeigt.
3. Wenn Sie nicht immer das Werkzeug wechseln möchten, um sich zu bewegen
können Sie auch einfach den rechten Mausbutton benutzen, um das
Koordinatensystem zu bewegen. Zum Ausprobieren können Sie ein beliebiges
Werzeug anwählen und das Koordinatenkreuz ohne das Werkzeug zu wechseln
bewegen.
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Ich werde Ihnen nun zeigen, wie man den Zoom richtig verwendet.
1. Der Zoom mit dem Mausrad verändert nicht die Ansicht,
sondern die Nummerierung des Koordinatensystems. Achten Sie darauf, dass wenn Sie
den Zoom mit dem Mausrad verwenden, sich Ihr Mauscursor auf dem Ursprung des
Koordinatensystems befindet. Der Zoom geht nämlich immer dorthin, wo sich Ihr
Mauscursor befindet. Da Sie sich nicht frei bewegen können ist es möglich, dass
Sie sich an Stellen „zoomen“ zu denen Sie nicht möchten und Ihre ganze Ansicht
zerstört ist.
2. Um die auf dem Bildschirm abgebildeten Ebenen
kleiner oder größer darzustellen, benutzen wir also nicht den Zoom. Hierfür ist
das Clipping zu benutzen. Wie der Name schon sagt, ist es mit dieser
Einstellung möglich zu bestimmen an welcher Stelle die Ebenen abgeschnitten
werden. Klicken Sie hierzu auf das Einstellungen Ikon (das Zahnrad oben rechts),
dann auf Einstellungen und scrollen Sie in den Grundeinstellungen ganz nach unten.
2.1. Setzen Sie zunächst kein Hacken bei „Clipping verwenden“ sondern
Probieren Sie bei „Clipping Box Größe“ alle Größen durch.
2.2. Nun können Sie ausprobieren was passiert, wenn
Sie „Clipping Verwenden“ anklicken, am besten setzen Sie auch einen Hacken bei „Clipping
anzeigen“ da man nur dann wirklich sieht, was das Programm macht.
Sie können sich aussuchen welche Ansicht Sie am besten
finden, für das was Sie ihren Schülern beibringen möchten. Meiner Meinung nach
ist die Clipping Box zu verkleinern, ohne das Clipping überhaupt zu verwenden
am besten für die Ansicht, da hier beim Bewegen der Ebnen diese nie vom Rand
des Applets abgeschnitten werden.
Aufgabe 3
Aufgabe 4 (optional)
Es besteht die Möglichkeit eine 3D-Brillen Ansicht in GeoGebra
zu auswählen. Diese kann jedoch Kopfschmerzen verursachen, deswegen ist das
Ausprobieren optional.
1. Klicken Sie auf das Einstellung Ikon und wählen
Sie bei „Projektion“, „Projektion für Brille“ aus.
2. Um dies wieder Rückgängig zu machen, wählen Sie
wieder bei „Projektion“ diesmal „Orthogonal Projektionen".
Die weiteren Projektionen sind für das Betrachten von dreidimensionalen
Körpern hilfreich, für Ebnen jedoch uninteressant. Also sind sie nicht Thema dieses
Praktikums.
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Nun möchte ich Ihnen zeigen, wie Sie Punkte in Ihrem dreidimensionalen Koordinatensystem einzeichnen können. Dazu gibt es Zwei Möglichkeiten:
1. Klicken Sie auf den Algebra-Reiter in der Leiste links, um
das Eingabefenster zu öffnen.
1.1. Um einen Punkt zu erstellen, wählen Sie für die Eingabe einen
großen Buchstaben, „=“ und dann die Koordinaten des Punktes in Klammern. (Bsp.:
U=(1,1,1))
1.2. Wenn Sie stattdessen einen kleinen Buchstaben wählen, wird
statt einem Punkt ein Ortsvektor erstellt. (Bsp. e=(1,1,1))
2. Sie können einen Punkt auch mit dem Punktwerkzeug erstellen.
Dies ist um einiges komplizierter als in einem zweidimensionalen Raum.
2.1. Zuerst wählen sie die nur x,y-Koordinaten des Punktes in dem
Sie ihn auf der x,y-Ebene platzieren.
2.2. Dann können Sie den Punkt in z-Richtung verschieben. Fahren
Sie mit dem Mauscursor auf den Punkt, bis Sie Pfeile sehen, die nach oben und
unten zeigen (z-Richtung). Wenn Sie den Punkt nun mit der linken Maustaste
ziehen, können Sie ihn nur in z-Richtung ziehen.
2.3. Um den Punkt wieder in x,y-Richtung ziehen zu können klicken
Sie mit dem „Bewegen“-Werkzeug einmal auf den Punkt so das die Pfeile sich
ändern zu Pfeilen die nach links, rechts, hinten und vorne zeigen. Nochmal auf
den Punkt klicken und es kommen wieder die Pfeile nach oben und unten.
2.4. Punkte, die Sie auf die Achsen setzten, lassen sich nur entlang dieser bewegen.
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Um Ebenen zu erstellen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Ich werde Ihnen zwei davon hier zeigen:
1. Die einfachste Weiße ist, wieder über den „Algebra“-Reiter
das Eingabefenster zu öffnen und eine Ebene in Koordinatenform in ein
Eingabefeld einzugeben. Auch wenn GeoGebra der Ebene automatisch einen Namen
gibt, ist es besser selbst einen zu wählen. Dafür eignen sich kleine Buchstaben.
(Bsp. p: 2x+3y+z=1)
2. Ebenfalls einfach ist es, mit dem Werkzeug „Ebene durch drei
Punkte“ ein Ebnen zu erstellen. Wie der Name schon sagt, kann man drei Punkte anwählen
und GeoGebra bildet eine Ebene durch diese drei Punkte. Man kann mit diesem
Werkzeug auch die Punkte direkt setzten. Dies kann gut dafür sein, wenn man die
Spurpunkte einer Ebene genau kennt.
Erstellen Sie nun zwei Ebenen mit jeweils einer dieser Möglichkeiten.
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Wenn man in der Werkzeugleiste auf „Mehr“ drückt, kann man
noch weitere Werkzeuge zum Erstellen von Ebenen finden. Sie müssen in der
erweiterten Werkzeugleiste, soweit nach unten scrollen bis Sie die Überschrift
„Ebenen“ sehen. Hier finden Sie drei weitere Werkzeuge zum Ebenen erstellen:
1. „Ebene“ ist ein Werkzeug, um Ebenen zwischen zwei Objekten
zu bilden. Zum Beispiel zwischen zwei Geraden oder einer Geraden und einem Punkt.
Klicken Sie einfach mit dem Werkzeug die Objekte an, zwischen denen Sie die
Ebene bilden möchten.
2. Mit dem Werkzeug „Parallele Ebenen“ lässt sich eine Ebene
durch einen Punkt spannen die parallel zu einer gewählten Ebene ist.
3. Das Werkzeug „Normalebene“ lässt eine Ebene durch einen Punkt
spannen die von einer gewählten Geraden senkrecht geschnitten wird.
Probieren Sie die gelernten Werkzeuge am Applet aus. Sie
können die bereits eingezeichneten Geraden, die Ebene und den Punkt verwenden. Sie sollten
vier Ebenen erstellen.
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Um den Schnitt von Ebnen zu berechnen, gibt es kein Werkzeug.
Sie müssen die Eingabeleiste verwenden. Geben Sie den Befehl „Schnittpunkt“ in
ein Eingabefeld ein und wählen Sie die Option „Schnittpunkt (Objekt, Objekt)“.
Bitte beachten Sie, immer eine einfache zu Schreibende Beschriftung
für Ihre Ebenen wählen (z.B. p: …). Die Standardbeschriftung von GeoGebra für
Ebenen ist nicht geeignet, da sie sich nicht einfach mit einer normalen Tastatur
schreiben lässt und somit ungeeignet für die Befehle in der Eingabeleiste ist.
1. Um die Schnittgerade von zwei Ebenen zu berechnen, benutzen Sie
den Befehl „Schnittpunkt“ wie oben beschrieben. Schreiben Sie die Beschriftung
der sich schneidenden Ebenen in die Klammern.
2. Der Befehl „Schnittpunkt“ lässt nur zu, den Schnitt von zwei
Objekten zu bestimmen. Deswegen müssen Sie, um den Schnittpunkt von drei Ebenen
zu bestimmen, zuerst die Schnittgerade von zwei der Ebenen wie oben beschrieben
berechnen. Dann können Sie mit dem gleichen Befehl „Schnittpunkt“ den
Schnittpunkt der Schnittgerade und der übrigen Ebene und somit den Schnitt
aller drei Ebnen bestimmen. Tragen Sie hierfür den von GeoGebra gewählten Namen
der Schnittgeraden und den Namen der übrigen Ebene in die Klammern ein.
Bestimmen Sie nun den Schnittpunkt der folgenden drei Ebenen.
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Nun können Sie kreativ werden und eine Aufgabe für Schüler in
der Kursstufe erstellen, welche das Thema lineare Gleichungssysteme veranschaulichen
kann.