Elipses de Steiner de un triángulo
La elipse que pasa por los tres vértices de cualquier △ABC y tiene centro en el baricentro G es la elipse exterior de Steiner del triángulo, Se. La que es tangente a los tres lados y tiene el mismo centro, es la elipse interior de Steiner, Si. Son respectivamente la elipse de menor área circunscrita a △ABC y de mayor área inscrita en él.
Se trata de un problema claramente afín, pues en una transformación afín se conservan los cocientes de distancias entre puntos alineados (su razón simple), y como consecuencia de ello la alineación de puntos, y el paralelismo y concurrencia de rectas. En particular, las cónicas se transforman en cónicas del mismo tipo, con el mismo número de puntos impropios, por lo que la imagen de una elipse es otra elipse. Como por otras parte todos los triángulos son equivalentes bajo transformaciones afines, puede estudiarse el problema en cualquier triángulo, en particular en el equilátero. En particular se ve que sus ejes están alineados y que los semiejes de Se son el doble que los de Si, por lo que su superficie es cuatro veces mayor.
Explícitamente, la afinidad que transforma cualquier triángulo en equilátero puede considerarse compuesta de un deslizamiento paralelo a un lado, al que deja invariante, y que transforme el triángulo en isósceles, seguida de una contracción perpendicular a ese lado, que transforme al triángulo en equilátero. La primera no cambia el valor de ninguna área, por el principio de Cavallieri, y la segunda cambia todas las áreas en la misma proporción. Pulsar el botón [→ △ equil.] para efectuar esta transformación.
Pueden desplazarse los vértices A y B en cualquier momento, y C cuando el triángulo no es equilátero.
El conocido indebidamente como Teorema de Marden establece que si los vértices del triángulo son los afijos de las raíces (complejas) de un polinomio de tercer grado P(z), con coeficientes en general complejos, los focos de Si son las raíces de P'(z). Si A, B y C son las raíces, tenemos que:
son los afijos de los focos Si.
La raíz de la derivada segunda
es , cuyo afijo es justamente el baricentro del triángulo.
Un enunciado más general es el Teorema de Gauss-Lucas, que nos dice que las raíces de la derivada de un polinomio están en la cápsula convexa de las raíces del polinomio. Algo así como una generalización del Teorema de Rolle para polinomios complejos ...
El teorema de Marden permite probar fácilmente dos relaciones entre los lados y las distancias entre vértices del triángulo y focos de la elipse:
P'(z) es un polinomio de 2º grado con raíces F y F'. Podemos poner entonces
P'(z)=3(z - F)(z - F')
Evaluando en cada vértice y tomando valores absolutos,
|P'(A)|=3|A - F|·|A - F'| = 3u·u'
|P'(B)|=3|B - F|·|B - F'| = 3v·v'
|P'(C)|=3|C - F|·|C - F'| = 3w·w'
Por otra parte, derivando P(Z),
P'(z) = (z - B)(z - C) + (z - A)(z - C) + (z - A)(z - B)
Evaluando la derivada en A, B y C y tomando valores absolutos,
|P'(A)| = |A - B|·|A - C| = c·b
|P'(B)| = |B - A|·|B - C| = c·a
|P'(C)| = |C - A|·|C - B| = b·a
Igualando los productos de cada una de esta terna de expresiones, nos queda
a2b2c2 = 27u·u'·v·v'·w·w'
E igualando las sumas,
a·b + b·c + c·a = 3(u·u' + v·v' + w·w')
Morris Marden fue un matemático estadounidense (1905-1991), especialmente interesado en la geometría de los ceros de polinomios complejos. Marden atribuyó lo que hoy se conoce como el teorema de Marden al matemático alemán Jörg Siebeck (1842-19164), quien lo publicó en 1864 en el Journal de Crelle, volume 64, pages 175–182. El divulgador Daniel Kalman lo atribuyó incorrectamente a Marden al reseñar un libro de este último, y esta atribución es la que ha permanecido.