M3.IV.10 A1 L Stationäre Zustände
Leitfrage zu Phase 10
Wie entwickelt sich die Kundenverteilung langfristig?
Schematisierung in Übergangsmatrix und Bestandsvektor
Zu der Frage, ob die im Diagramm festgestellten Tendenzen anhalten und wie die anfängliche Kundenmenge den Verlauf beeinflusst, haben die SuS Hypothesen formuliert und in GeoGebra mit dem Schieberegler überprüft.
Nun soll dem rechnerisch genauer auf den Grund gegangen werden.
Dazu werden die bisherigen Betrachtungen schematisiert in Matrix und Vektor:
Die Entwicklung mit Übergangsmatrix und Bestandsvektor beschreiben und das Produkt Matrix∙Vektor definieren
Ausgehend von Berechnung der Kundenzahlen nach einem Monat mithilfe des Baumdiagramms in Phase 11 wird nun die Multiplikation Übergangsmatrix⋅Bestandsvektor entwickelt.
Es folgt die Definition einer Matrix und der Multiplikation mit einem Vektor (zunächst 2x2):
Es folgt die Definition einer Matrix und der Multiplikation mit einem Vektor (zunächst 2x2):
Berechnung in GeoGeobra und Definition von Matrixpotenzen
Im Arbeitsblatt
M3 AB IV.2 Stabile Kundenzahlen
führen die SuS die obigen Berechnungen mit Übergangsmatrix und Bestandsvektor in GeoGebra erneut durch.
Dabei beantworten sie die Frage, wie man die Kundenzahlen nach dem n-ten Monat direkt berechnen kann, da jedes Mal mit der Übergangsmatrix multipliziert wird…
GeoGebra führt die Matrizenmultiplikation durch, aber wie rechnet GeoGebra konkret?
Durch die Betrachtung der Gleichungen nach zwei Monaten und anschließend der Berechnung von über die Multiplikation mit der Übergangsmatrix lässt sich die Definition der Matrixmultiplikation ableiten.
Hieran schließen sich Übungen zur Matrizenmultiplikation an, in denen durch Variation die Regel (n×m) ⋅ (m×k) gesichert wird.
M3 AB IV.2 Stabile Kundenzahlen
führen die SuS die obigen Berechnungen mit Übergangsmatrix und Bestandsvektor in GeoGebra erneut durch.
Dabei beantworten sie die Frage, wie man die Kundenzahlen nach dem n-ten Monat direkt berechnen kann, da jedes Mal mit der Übergangsmatrix multipliziert wird…
GeoGebra führt die Matrizenmultiplikation durch, aber wie rechnet GeoGebra konkret?
Durch die Betrachtung der Gleichungen nach zwei Monaten und anschließend der Berechnung von über die Multiplikation mit der Übergangsmatrix lässt sich die Definition der Matrixmultiplikation ableiten.
Hieran schließen sich Übungen zur Matrizenmultiplikation an, in denen durch Variation die Regel (n×m) ⋅ (m×k) gesichert wird.Stabilen Bestandsvektor direkt berechnen
Nun wird die Vermutung untersucht, dass sich im Beispiel ein stabiler Bestandsvektor ergibt, für den dann gilt. Die Matrixgleichung wird durch Anwenden der Definition und hinzufügen der Zusatzbedingung x+y=50.000 in ein LGS überführt und dieses gelöst (per Hand oder mit GeoGebra):
Reflexion
Abschließend können die SuS plausibilisieren, warum sich die Kundenanzahl bei beiden Streamingdiensten stabilisiert (Die Grundmenge der 20% die von G zu H wechseln wird weniger, die Grundmenge der 5% die von H zu G wechseln mehr).
Dabei sollten auch die Modellannahmen (genau zwei Streamingdienste, Gesamtzahl der Kunden konstant und gleichbleibender Mechanismus) bei der Interpretation der Ergebnisse beachtet werden.
Optional: Grenzmatrix
Die SuS untersuchen nun mit GeoGebra die Änderung der Übergangsmatrix (Potenzen bilden).
Es ergibt sich ein Grenzmatrix, die anschließend analytisch hergeleitet werden kann:
Es ergibt sich ein Grenzmatrix, die anschließend analytisch hergeleitet werden kann:
Zeitbedarf
2-4h + 2h Üben
Übungen
Elemente der Mathematik LK RP 2017, S.190-193 mit GeoGebra
Lambacher Schweizer 2012, S. 176-178