Podzielność

Temat:
Dzielenie
Dzielenie to operacja matematyczna, która jest odwrotnością mnożenia. Oznacza to tyle, że wynikiem dzielenia np. 6 przez 2 jest taka liczba, która pomnożona przez 2 da 6. Skądinąd wiadomo, że , a więc wynikiem dzielenia 6 przez 2 jest liczba 3. Możemy to zapisać na kilka sposobów:
Wynik dzielenia nazywamy czasem ilorazem.

Ćwiczenie

Skoro , to co jest wynikiem dzielenia ?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Skoro , to co jest wynikiem dzielenia ?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

A co jest wynikiem dzielenia ?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Powtórka

Wielokrotnościami liczby 2 są liczby 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … Która z poniższych liczb byłaby następna na tej liście?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Które z poniższych liczb są wielokrotnościami liczby 3?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
  • G
  • H
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Które z poniższych liczb są wielokrotnościami liczby 4?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Sprawdź moją odpowiedź (3)
Podzielność Czasami wynik dzielenia jest liczbą całkowitą. Przykładowo , a . Powiemy wtedy, że 4 jest podzielne przez 2 oraz, że 12 jest podzielne przez 3. Wynika to stąd, że 4 jest wielokrotnością liczby 2, a 12 jest wielokrotnością liczby 3. Nie zawsze mamy takie szczęście. Przykładowo , a co gorsza . Mówi się wtedy, że 5 nie jest podzielne przez 2, albo że 1 nie jest podzielne przez 3. Jak poznać czy dana liczba jest podzielna przez inną liczbę? Można się o tym przekonać próbując dzielić na kalkulatorze, lub tradycyjnie – w słupku. W przypadku niektórych liczb powstały reguły, które pozwalają nam poznać odpowiedź na to pytanie od razu. Takie reguły nazywamy cechami podzielności. Zaraz poznasz kilka z nich.

Cecha podzielności przez 1

Każda liczba jest podzielna przez 1. Np. liczba 129343952 jest podzielna przez 1.

Cecha podzielności przez 2

Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest podzielna przez dwa, a więc jeśli kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8. Np. liczba 129343952 jest podzielna przez 2.

Cecha podzielności przez 3

Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Np. dla liczby 129343952 suma cyfr wynosi 1+2+9+3+4+3+9+5+2=38. Suma cyfr liczby 38 to 3+8=11, a suma cyfr 11 wynosi 1+1=2. Liczba 2 nie jest podzielna przez 3, a więc 38 też nie jest, a więc 129343952 też nie.

Cecha podzielności przez 4

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są liczbą podzielną przez 4. Np. liczba 129343952 jest podzielna przez 4, bo jej dwie ostatnie cyfry dają liczbę 52, która jest podzielna przez 4 (skoro , to ).

Cecha podzielności przez 5

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra jest podzielna przez 5, a więc jeśli kończy się na 0 lub 5. Np. liczba 129343952 nie jest podzielna przez 5, bo jej ostatnią cyfrą jest 2.

Cecha podzielności przez 10

Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfrą jest 0. Np. liczba 129343952 nie jest podzielna przez 10, bo jej ostatnią cyfrą nie jest 0.

Ćwiczenie

Czy liczba 444 jest podzielna przez 2?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 444 jest podzielna przez 3?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 444 jest podzielna przez 4?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 444 jest podzielna przez 5?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 444 jest podzielna przez 10?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Które z poniższych liczb są podzielne przez 2?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Która z poniższych liczb jest podzielna przez 3?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Która z poniższych liczb jest podzielna przez 4?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Która z poniższych liczb jest podzielna przez 5?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy istnieje liczba, która jest podzielna przez 4, ale nie jest podzielna przez 2?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Liczby pierwsze i liczby złożone.

Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1 (wynikiem dzielenia jest ta sama liczba) oraz przez samą siebie (wówczas wynikiem dzielenia jest 1). Liczby, które mają dokładnie dwa dzielniki nazywamy liczbami pierwszymi, a liczby które mają więcej dzielników nazywamy liczbami złożonymi. Przykładowo liczba 12 dzieli się przez 1 i 12, ale dzieli się również przez 2 i 6, 3 i 4. Ma 6 dzielników, a więc jest liczbą złożoną. Podobnie sprawy się mają z liczbą 6, która dzieli się przez 1, 2, 3 i 6, a więc także jest złożona. Z kolei liczba 2 dzieli się tylko przez 1 i 2. Ma dwa dzielniki, więc 2 jest liczbą pierwszą. Tak samo jest z liczbą 3, która dzieli się wyłącznie przez 1 i 3. Liczba 3 także jest liczbą pierwszą. Ciekawostka. Liczby złożone zawdzięczają nazwę temu, że w pewnym sensie zbudowane są z liczb pierwszych:

Ćwiczenie

Które z poniższych liczb są dzielnikami liczby 8?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 8 jest liczbą złożoną?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Które z poniższych liczb są dzielnikami liczby 5?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 5 jest liczbą złożoną?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Ile dzielników ma liczba 1?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Czy liczba 1 jest liczbą pierwszą?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
Sprawdź moją odpowiedź (3)
Cenna obserwacja

Jeśli liczba jest podzielna przez jakąś liczbę złożoną, to musi się ona też dzielić przez wszystkie dzielniki tej liczby.

Np. skoro 72 dzieli się przez 8 (a jest tak, bo ), to musi dzielić się również przez 2 i 4. Faktycznie: i . A skoro 72 dzieli się także przez 9, to musi się dzielić również przez 3. I tak jest w istocie, bowiem . Kolejna cenna obserwacja

Jeśli jakaś liczba jest podzielna przez jakieś dwie liczby, to musi się ona też dzielić przez iloczyn tych dwóch liczb.

Np. skoro 72 dzieli się przez 2 i przez 3, to musi się dzielić również przez . Faktycznie: .

Ćwiczenie

Które z poniższych liczb są dzielnikami liczby 9?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
  • G
  • H
  • I
  • J
  • K
  • L
  • M
Sprawdź moją odpowiedź (3)

Które z poniższych liczb są dzielnikami liczby 18?

Zaznacz odpowiedź tutaj
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
  • G
  • H
  • I
  • J
  • K
  • L
  • M
Sprawdź moją odpowiedź (3)