Wasserbehälter in einer Mühle
Mathilde will in einer Mühle ein kleines Café eröffnen. In dem kegelförmigen Dach der Mühle soll nun ein zylindrischer Wasserbehälter mit möglichst grossem Volumen aufgestellt werden. Das Dach hat eine Höhe von 2,5m und unten einen Durchmesser von 3m.
Welche Masse muss der optimale Zylinder haben?
- Erkunde die Zusammenhänge der Aufgabe. a) Welche Grenzlagen kann der Zylinder einnehmen? b) Liegt die Form, die maximales Volumen liefert, in der Mitte zwischen den Grenzlagen? c) Von welchem Funktionstyp könnte die Volumenfunktion sein? d) Welche optimale Form ergibt sich aus der Zeichnung?
- Stelle Formeln für die Zielgrösse VV und die Nebenbedingungen auf. a) Stelle eine Formel für die Zielfunktion V auf. b) Bestimme das Maximum rechnerisch. c) Wie viel Prozent des Dachvolumens können auf diese Weise für den Wasserbehälter genutzt werden. d) Wie viel wiegt das Wasser in dem Behälter dann?
- Mathilde hat sich inzwischen die Masse des besten Zylinders ausgerechnet. Die Firma, die den Behälter liefern soll, stellt in dieser Grössenordnung folgende Typen her: A(r=1m;h=0,8m), B(r=95cm;h=1m), C(r=90cm;h=1m), D(r=105cm;h=75cm) Welchen Typ soll Mathilde bestellen?