3.3 I coefficienti dell'ellisse
con a,b numeri reali non nulli
Grazie a questo risultato possiamo studiare come varia la forma di un'iperbole al variare dei suoi coefficienti algebrici a,b. Creiamo dunque un'iperbole seguendo queste semplici istruzioni:- Utilizzando lo strumento Slider
definiamo il numero a, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 . - Settiamo inizialmente il valore a=3.
- Ripetiamo la costruzione del punto 1 per definire il numero b, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 .
- Settiamo inizialmente il valore b=2.
- Adesso nella parte Algebra di GeoGebra (il pannello a sinistra) andiamo in una casella libera e scriviamo l'espressione algebrica della parabola inserendo "x^2/a^2 + y^2/b^2=1" (senza le virgolette "").
Modificando il parametro a come cambia la curva?
Modificando il parametro b come cambia la curva?
Come cambia l'ellisse se a<b o a>b ?
Il parametro è detto semidistanza focale, ed è uguale alla metà della distanza tra i due fuochi. Sapendo che i fuochi sono posizionati sempre su uno dei due assi cartesiani, e che il loro punto medio è l'origine, quali sono dunque le loro coordinate?
I punti in cui l'iperbole tocca gli assi cartesiani sono detti vertici dell'ellisse. Osservando come cambiano i punti di incontro dell'ellisse con gli assi al variare dei parametri a e b, quali sono le coordinate dei vertici rispetto ad essi?
A seconda delle posizioni dei vertici, abbiamo sempre un asse maggiore e un asse minore, che sono le distanze tra due vertici appartenenti allo stesso asse cartesiano. C'è una relazione tra gli assi dell'ellisse e i parametri a e b? Se sì, descrivila.
Il rapporto tra la distanza dei due fuochi e la distanza dei due vertici reali è detta eccentricità dell'ellisse e viene indicata con la lettera "e". Ricordando quanto valgono le distanze, ricava la formula per calcolare e a partire dai parametri a e b.
Analizzando l'espressione di e, spiega perché non è possibile ottenere valori di e>1.
Prova a impostare i valori dei parametri a e b in modo da ottenere e=0,2 ; e=0,5 ; e=8 . Come cambia il grafico dell'ellisse al variare della sua eccentricità?
Bonus L'ellisse definita in questa attività non è una funzione matematica, perché associa ad ogni valore di x più di un valore in y. Ma se immaginassimo di tagliare l'ellisse in due lungo l'asse delle ascisse, otterremmo due "semiellissi" che non avrebbero più questo problema. Riusciresti a determinare l'espressione di queste due funzioni? [Suggerimento: se riesco ad esprimere una curva come y=f(x) (cioè riesco ad isolare "y" a primo membro e ottenere a secondo membro un'espressione che contiene solo la variabile x) avrò sicuramente definito una funzione...]