Besondere Linien im Dreieck

Besondere Linien im Dreieck Mittelsenkrechten, Höhen, Winkel- und Seitenhalbierende werden als besondere Linien im Dreieck bezeichnet. Diese halten ein paar mathematische Überraschungen bereit.
Mehr als eine besondere Linienart sollte aufgrund der Übersichtlichkeit vermieden werden. Der Schieberegler zeigt die einzelnen Konstruktionsschritte.
  1. Aktiviere zunächst das Kontrollkästchen "Mittelsenkrechte" und überlege dir, wie du vorgehen würdest, um eine Mittelsenkrechte der Strecke AB konstruieren würdest.
  2. Bewege den Schieberegler auf die Position 2 und 3 und überprüfe deine Überlegungen.
  3. Überraschung: Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Prüfe dies nach, indem du die Punkte A,B oder C veränderst.
  4. Nächste Überraschung: Der im Schritt 4 erscheinende Mittelpunkt ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch die Punkte A,B und C verläuft (Schritt 5). Verändere abermals die Punkte A, B oder C und beobachte den Umkreis. Kann dieser Mittelpunkt auch außerhalb des Dreiecks liegen?
  5. Deaktiviere das Kästchen "Mittelsenkrechte" und aktiviere die "Höhen".
  6. Überlege, wie Höhen in ein Dreieck gezeichnet werden und prüfe deine Vermutungen durch das Ziehen am Schieberegler auf Position 2.
  7. Bewege nun den Punkt C so, dass er nicht mehr auf der Strecke AB liegt.
  8. Auch die drei Höhen im Dreieck schneiden sich immer auf einem Punkt (Prüfe dies nach). Bei welcher Dreiecksart liegt der Mittelpunkt innerhalb, bei welcher außerhalb des Dreiecks? Bei welcher Dreiecksart entspricht er genau einem Eckpunkt?
  9. Überlege, wie Winkelhalbierende gezeichnet werden. Überprüfe deine Überlegungen (Schieberegler auf 2).
  10. Auch hier schneiden sich die Winkelhalbierenden in genau einem Punkt. Überlege zunächst ohne die Punkte A, B oder C zu verschieben, wo sich dieser Mittelpunkt befindet. Überprüfe danach deine Vermutungen.
  11. Nächste Überraschung: Der Mittelpunkt ist gleichzeitig Mittelpunkt des Innkreises des Dreiecks (das im Schritt 4 erzeugte Lot des Mittelpunktes zur Strecke BC ist der Radius dieses Kreises). Bewege wieder die Punkte A, B oder C, um den Kreis zu verändern.
  12. Überlege wieder, wie Seitenhalbierende gezeichnet werden und überprüfe deine Überlegungen mittels Schieberegler (3). Was ist der Unterschied zwischen Mittelsenkrechten und Seitenhalbierenden?
  13. Inzwischen nicht mehr überraschend schneiden sich die Seitenhalbierenden wieder in genau einem Punkt. Überlege, ob dieser Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen kann.
  14. Überraschend ist aber, dass dieser Punkt der Schwerpunkt des Dreiecks darstellt. Schneidet man ein solches Dreieck aus Pappe aus und legt es auf einen Stift, dessen Spitze im entstandenen Mittelpunkt der Seitenhalbierenden liegt, kippt es nicht nach einer Seite weg. (Praktisch sollte dafür besser keine Spitze, sondern die andere Seite des Stifts genutzt werden).
  15. Übrigens: Hängt man das Dreieck z.B. an Punkt C auf, so steht die Seitenhalbierende von c senkrecht zum Fußboden.
  16. Eine letzte Überraschung: Die Mittelpunkte der Mittelsenkrechten, Höhen und Seitenhalbierenden liegen auf einer Geraden. Sie ist nach dem Mathematiker Leonhard Euler benannt.
Zusammenfassung: Überlege mit deinem Nachbarn ohne auf den Bildschirm zu sehen, welche vier besonderen Linien im Dreieck betrachtet wurden. Wie können die einzelnen Linienarten konstruiert werden? Die Linienarten schneiden sich immer in einem Punkt. Welche Mittelpunkte können sich auch außerhalb des Dreiecks befinden? Welche Linienarten bilden die Vorraussetzung zur Konstruktion des Um- und Inkreises?