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Producto escalar de dos vectores en el espacio

Author:Yeray Brito Delgado
Topic:Vectors
DEFINICIÓN Se denomina producto escalar de dos vectores y al número real que resulta de multiplicar el módulo de por el módulo de y por el coseno del ángulo que forman sus líneas de acción. Matemáticamente se escribe: siempre que y sean no nulos.

Ejemplo:

Dados los vectores y , que forman un ángulo de , su producto escalar será:

Actividad

Calcula el producto escarlar en el plano entre los vectores y , sabiendo que el ángulo entre ellos es de . ; (Da la respuesta con dos cifras decimales y usa el punto como marcador decimal)

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Actividad

Sean , y calcular el producto escalar (Da el resultado con dos cifras decimales y usando el punto como separador decimal)

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Actividad

Se tienen los vectores y , cuyos módulos son y . Ambos vectores forman un ángulo de . Dibuja los vectores y el ángulo entre ambos siguiendo estos pasos:
  1. Sobre el eje X dibuja el vector , teniendo en cuenta su módulo.
  2. Sobre el eje Y dibuja el vector teniendo en cuenta su módulo.
  3. El ángulo entre ambos es de , pero en el enunciado nos dice que debería de ser .
  4. Usa la herramienta de rotación para hacer rotar el vector estableciendo el eje de giro en el (0, 0). La rotación ha de ser en sentido horario y los grados que debes rotar el vector han de ser .
  5. Ahora usa la herramienta de ángulo para comprobar que el ángulo entre ambos vectores es el correcto.

Calcula el producto escalar entre los vectores anteriores. (Debes dar el resultado con un solo decimal y usando el punto como separador decimal)

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Actividad

Sean dos vectores y , si el ángulo que forman es de , representa la situación a continuación. ;

Calcula el producto escalar entre los vectores anteriores (Debes dar el resultado con dos cifras decimales y usando el punto como separador decimal)

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Actividad

Si el ángulo entre dos vectores está comprendido entre y , el producto escalar entre ambos será:

Select all that apply
  • A
  • B
  • C
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El producto escarla de dos vectores no nulos y es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Se observa en la figura un triángulo rectángulo formado por la hipotenusa y uno de los catetos es la proyección de sobre . Aplicando la definición del coseno del ángulo se tiene: Sustituyendo en la expresión que teníamos para el producto escalar obtenemos lo siguiente:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

1. El producto escalar de un vector por sí mismo es siempre mayor o igual a cero.

Demostración

2. Propiedad conmutativa

Demostración

3. Propiedad asociativa con el producto por un número real

Sea un número real, según la propiedad asociativa: Demostración

4. Propiedad distributiva respecto de la suma

Según esta propiedad: Demostración Vamos a ver esta demostración gráficamente.
  • Primer miembro de la igualdad:

  • Segundo miembro de la igualdad:
 Observando la figura se ve que:  Con esto queda demostrada la propiedad, ya que ambos miembros de la igualdad son iguales.

5. El producto de dos vectores no nulos es cero si y solo si ambos son perpendiculares

; (perpendiculares) Demostración Si se da este caso se dice que los vectores y son ortogonales.
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores y el producto escalar de y es igual a:

Actividad

Dados y calcula su producto escalar analíticamente.

Check my answer

Dados y calcula su producto escalar analíticamente.

Check my answer
RECURSO: PRODUCTO ESCALAR EN 3D Autor del applet: Javier Cayetano Rodríguez Puedes usar este applet de GeoGebra para visualizar el producto escalar de dos vectores y en el espacio. Además, introduciendo las coordenadas que desees podrás visualizar los vectores y se calcula de forma automática sus módulos, ángulo y el producto escalar. También permite visualizar la proyección sobre o sobre .
Instrucciones
  • Puedes arrastrar la vista 3D con el botón derecho para visualizar la escena desde la perspectiva que más te interese.
  • Puedes introducir los valores de las componentes de cada vector arriba a la derecha.
  • Marca la casilla para proyectar sobre el vector , en lugar de sobre el .

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