2 - Reta perpendicular por um ponto (I)
Problema
Traçar à reta perpendicular a um segmento que passa por um ponto fora desse segmento.
Solução
1. Seja um segmento de reta e um ponto fora desse segmento.
2. Seja um ponto pertencente ao segmento .
3. Trace um círculo de raio e centro .
4. Marque o outro ponto de interseção do círculo com o segmento.
5. Use o compasso e trace dois círculos centrados nos ponto e , e raio maior que a metade de .
- no applet abaixo, utilizamos o raio .
Justificativa Matemática
Seja o ponto de interseção de .
Por serem círculos de mesmo raio, temos que , fazendo de isósceles.
Sabemos que os ângulos de triângulos isósceles são congruentes, logo:
Pelo critério de congruência LLL temos que e são congruentes, de modo que: Assim temos que os triângulos e são congruentes pelo critério ALA. Por esse motivo temos , fazendo com que seja perpendicular ao segmento e, consequentemente ao segmento. Para mostrar que essa perpendicular passa pelo ponto , basta reparar que também é isósceles, pois e são raios de um mesmo círculo, logo, os ângulos de sua base também são congruentes: Como já sabemos que , temos pelo critério de congruência LAL que os triângulos e também são congruentes, fazendo uma perpendicular de . Assim, usamos a informação de que por um ponto de uma reta se passa apenas perpendicular, para concluir que a reta é a perpendicular de que passa pelos pontos , , e .