Kleine Bahnhofshalle

Autor:: Karl Spier

Thema:: Vektoren 3D (dreidimensional), Geometrie

Bahnhof Warschau Ochota

Die Eckpunkte des Daches sind A=(15|0 | 1), B=( 0|15| 13), C=( -15| 0| 1) und D=(0| -15| 13)

Vektoren für die Kanten

Aus den Eckpunkten ergeben sich z.B. die Vektoren

und

. Der Winkel zwischen

und

wird mit der Formel (Skalarprodukt) berechnet:

Für die anderen Ecken ergeben sich die gleichen Winkelgrößen, so dass die Winkelsumme in dem nicht-ebenen Viereck ABCD weniger als 360° ergibt.

Gerade durch A und B

Mit dem Stützvektor

und dem Richtungsvektor

ergibt sich die für die Gerade durch A und B die Geradengleichung

Schnittpunkt der beiden Geraden

Da der Punkt E auf einem Drittel der Strecke von A nach D liegt, kann er durch

, also

Der Punkt E ist dann E=(10| -5| 5). Die Punkte F, G und H werden entsprechend berechnet. Im GeoGebra-Applett oben ist für die Gerade EF ein Schieberegler vorgesehen. Mit F=(-5|10| 9) ergibt sich die Geradengleichung

Die Gerade durch G=(10| 5| 5) und H=(-5|-10| 9) ist

. Der Schnittpunkt von

und

wird durch Gleichsetzen der beiden Terme berechnet:

Aus den beiden Gleichungen (I) und (II) folgt

und

und Gleichung (III) ist mit diesen Werten ebenfalls gültig. Also existiert der Schnittpunkt der beiden Geraden und seine Koordinaten ergeben sich durch Einsetzen von

zu S=( 5| 0| 6,333).

Hinweise zum Zeichnen von Geraden mit GeoGebra

Wenn Sie mit GeoGebra arbeiten, haben Sie verschiedene Möglichkeiten, die Gerade zu zeichnen. Natürlich geht es mit der Maus durch Auswählen des Werkzeugs für Geraden und Anklicken der beiden Punkte. Alternativ können Sie in die Eingabezeile verwenden, in die sie u.a. folgendes eintragen:

g: Gerade(A, B)
g: Gerade(A, Vektor(A,B))
g: X = A + t * (B-A)
g: X = (15, 0, 1) + t*(-15, 15, 12)
g: Kurve( (15, 0, 1) + t*(-15, 15, 12), t, -1, 2)

Bei der ersten Möglichkeit hätte man auch das "g: " weglassen können, dann hätte GeoGebra sich einen Namen für die Gerade ausgedacht, oder man hätte auch "g= " schreiben können. Bei der zweiten wird die Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert. Bei der dritten wird eine Form ähnlich wie in der vektoriellen Form der Geradengleichung eingegeben, jedoch werden statt der Vektoren jetzt Punkte benutzt, die dann auch mit Großbuchstaben geschrieben werden. Die vierte unterscheidet sich von der dritten nur dadurch, dass die Punkte mit ihren Koordinaten statt ihrer Namen A bzw. B verwendet werden. Mit der letzten wird nur ein Ausschnitt der Geraden gezeichnet: Es ist wieder eine Parameterform mit dem Parameter t. Die letzten drei Angaben für den Befehl Kurve sind Name des Parameters, Startwert für den Parameter und Endwert für den Parameter. Bei den Beispielen 3. und 4. ersetzt GeoGebra den Parameter t durch den griechischen Buchstaben

(lambda)

Hinweise zum Zeichnen von nicht-ebenen Vierecken mit GeoGebra

Wie das GeoGebra-Applet zeigt, können auch nicht-ebene Vierecke mit GeoGebra gezeichnet werden. Für interessierte gebe ich hier einen Link zu weiteren Informationen: Zeichnen von nicht-ebenen Vierecken