Oval von Descartes und seine Kreise
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kreis, Komplexe Zahlen, Kegel, Kegelschnitte, Konstruktionen, Zylinder, Ellipse, Geometrie, Ebene Figuren, Spiegelung, Kugel
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge (Febr 2019)
"noli turbare circulos meos"
("störe meine Kreise nicht") soll ARCHIMEDES der Legende nach gesagt haben. Auf seinem Grab habe er sich eine Darstellung von Kugel und Zylinder gewünscht (wikipedia). Mit dem nach ihm benannten Oval hat sich RENÉ DESCARTES im Zusammenhang mit Problemen der Optik beschäftigt. Kreise - nicht Geraden - dienten ihm als berührende Elemente bei der Untersuchung von Kurven. In der Differentialrechnung haben sich jedoch die Tangenten als Berührelemente durchgesetzt (wikipedia). Was hat dies mit der angezeigten Kurve zu tun? Das Cartesische Oval ist eine bizirkulare Quartik, welche als Schnitt der Kugel beispielsweise mit einem elliptischen Zylinder entsteht - in die Ebene projiziert durch stereographische Projektion. Die Tangentialebenen des Zylinders schneiden die Kugel in Kreisen, welche die Schnittkurve doppelt berühren. Die Ovale können auf verschiedene Arten als Schnittkurve der Kreise zweier Kreisbüschel konstruiert werden. Die Schnittkurve ist dabei Winkelhalbierende der sich schneidenden Kreise. Man kann sie auch über die Reflexion von Kreiswellen beschreiben: die Kreise des einen Kreisbüschels werden an der Kurve reflektiert in die Kreise des anderen Kreisbüschels. Dies soll obiges Applet veranschaulichen. Man vergleiche auch: die Seite zuvor (Konfokale Cartesische Ovale), ferner: Cartesisches Oval mit 6-Eck, und das book Kugel-Kegel-Schnitte. Zur Erklärung: Das Oval besitzt 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte, hier liegt einer in und zusammen mit den 3 anderen auf der -Achse. Neben der -Achse gibt es 3 weitere Symmetrie-Kreise, einer ist imaginär. Zu jeder Symmetrie treten die Brennpunkte paarweise auf und erzeugen 2 hyperbolische Kreisbüschel (das sind die Kreise durch die beiden Brennpunkte). Wir nennen diese Kreise Brennkreise. Orthogonal dazu sind die elliptischen Kreisbüschel. Wir betrachten sie als Kreiswellen. Die Kreisbüschel, welche den Brennpunkt enthalten, bestehen aus den Geraden durch den anderen Brennpunkt und die dazu konzentrischen Kreise. Auf der Quartik schneiden sich je ein Kreis aus den beiden Kreisbüschel-Paaren. Die Quartik ist Winkelhalbierende dieser sich schneidenden Kreise. Die beim Applet-Start angezeigten Wellen bestehen aus den konzentrischen Kreisen um F0 einerseits und den elliptischen Kreisen um F1 und F2. Der zugehörige Symmetriekreis ist imaginär, die zugehörige Spiegelung ist das Produkt der 3 Spiegelungen an den 3 reellen Symmetriekreisen. Die beiden in der Alternative 3 angezeigten Scheitelkreise sind invariant unter dieser Spiegelung. Mit Hilfe dieser Scheitelkreisen kann man das Oval "konstruieren" - exemplarisch für die angezeigten Büschelkreise:- Spiegelt man einen der Schnittpunkte der konzentrischen Kreise um F0 mit der -Achse an einem der Scheitelkreise, so erhält man einen Punkt eines Kreises des anderen Büschels. Schneiden die beiden Kreise sich reell, so schneiden sie sich auf dem Oval!