Доказательство теоремы

Пусть — точка, не лежащая на прямой . Докажем сначала, что из точки можно провести перпендикуляр к прямой . Отложим от луча угол , равный углу , как показано на рисунке. Так как углы и равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны и первого угла совместятся со сторонами и второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание рисунка по прямой . При этом точка наложится на некоторую точку , луча (щелкните на кнопку, чтобы увидень построения). Обозначим буквой точку пересечения прямых и . Отрезок и есть искомый перпендикуляр к прямой . В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч совмещается с лучом , поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, . Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, .