Lineární závislost vektorů

Dva vektory a, b jsou lineárně závislé, pokud jsou rovnoběžné (mají tentýž směr). Pro jejich souřadnice musíme nalézt číslo k takové, že a = k b. V rovině neexistují tři vzájemně nezávislé vektory. Vždy mezi nimi najdete jeden, který je možné vyjádřit jako lineární kombinací zbývajících dvou vektorů. Na appletu níže je vektor u vyjádřen jako lineární kombinace vektorů a a b, tj. u = k.a + l.b. Koeficienty k, l lineární kombinace jsou určeny geometricky, pomocí rovnoběžníka s úhlopříčkou u.

Vektor u je lineární kombinací vektorů a, b

Definice

Nechť v1, v2, ..., vn jsou vektory z protoru V, a1, a2,..., an jsou reálná čísla. Vektor v

v = a1.v1+ a2.v2+ ...+an. vn

se nazývá lineární kombinace vektorů v1, v2, ..., vn s koeficienty a1, a2,..., an. Pokud jsou všechny koeficienty a1, a2,..., an rovny nule, hovoříme o triviální lineární kombinaci. Řekneme, že vektory v1, v2, ..., vn jsou lineárně nezávislé, jestliže lze nulový vektor vyjádřit pouze jako jejich triviální lineární kombinaci.

o = 0.v1 + 0.v2+ ... + 0. vn .

Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních.
Rozhodněte, zda jsou vektory u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 1) lineárně závislé. Pro volitelné reálné koeficienty k, l sestrojme vektor w = k.u+l.v. Rozhodněte, zda jsou vektory u, v, w lineárně závislé.
Množina vektorů v1, v2,..., vk generuje vektorový prostor V, jestliže každý vektor u∈ V lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci

u = a1.v1+a2. v2+...++a2. vk

Každou množinu lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru V se nazáváme bází V. Počet prvků báze je dimenze V.

Úloha

Napište nějakou bázi vektorového prostoru R3.

Úloha

Napište nějakou bázi vektorového prostoru generovaného třemi vektory (1, 0, 0), (1, 1, 1), (-1, 2, 2).

Úloha

Napište nějakou bázi vektorového prostoru generovaného čtyřmi vektory (1, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0) (0, 1 1).

Hašek, R.: Lineární algebra, kapitola "Vektory", "Matice".