Intuitivna definicija limesa

U ovom je apletu prikazan graf funkcije . Možeš pomicati plavu točku na osi x i mijenjati , "radijus" intervala oko plave točke. Točka ima x koordinatu te možeš vidjeti vrijednost i . Možeš odabrati neku od funkcija iz padajućeg izbornika ili unijeti funkciju u tekstualno polje.
Kažemo da postoji ako su sve vrijednosti od "jako blizu" nekom broju, kad god je "jako blizu" broju . Istraži:
  1. Mijenjaj položaj plave točke na x osi. Postoji li poveznica između crvenog intervala na x osi i zelenog/ih intervala na y osi?
  2. Što radi klizač ? Primijeti kako nikad nije . Možeš fino podešavati vrijednost klizača klikom na klizač i s kursorima lijevo/desno na tipkovnici.
  3. Postaje li uvijek zeleni interval manji kako se približava 0? Postaje li ikad veći? Smanjuje li se ikad zeleni interval u točku?
  4. Istraži razne funkcije iz padajućeg izbornika kako bi odgovorio na prethodno pitanje.
  5. Primjer 5 pokazuje funkciju koja nije definirana za . Premda funkcija u toj točki nije definirana, možemo procijeniti koliko je . U ovom nam slučaju kaže koliko bi "trebalo biti". Približite prikaz kako bi procijenio ovaj limes. (Prikaz možeš približiti i udaljiti kotačićem miša.)
  6. U primjerima 6 i 7, funkcija nije definirana u . Provjeri ovo stavljajući . Koja je vrijednost ?
  7. Primjer 8 je funkcija koja postaje "beskonačno valovita" u okolini . Što se događa ako stavimo i smanjimo * Isprobaj ovo: stavi i . Što će se dogoditi ako polako pomičeš prema ? Pokušaj pogoditi prije nego isprobaš.
Projektne ideje Neka je funkcija te definirajmo . Uoči razliku između i ! Pozorno promotri definiciju funkcije i razmisli o ovome.
  1. Što je kad je neprekidna u ?
  2. Što je kad ima skakajući prekid u ? Ovisi li to o tome da li je definirano ili nije?
  3. Što je kad ima beskonačno prekid u ?
  4. Daj primjer kad je domena od šira od domene ?
  5. Daj primjer kad je domena od uža od domene ?
  6. Daj primjer kad i imaju jednake domene.
  7. Je li uvijek neprekidna funkcija?
  8. Je li moguće da i postoje, ali nisu jednaki?