９．関数の極限
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
１．０／０が１になる？
＜0/0は不定形＞
x→0のとき、
sinx,tanx,1-cosx、ｘ，x２はすべて→0。
だから、それらを分母、分子にする関数は代入[plugging]によって極限値を求めようとすると、
sinx/x, (1-cosx)/x2,tanx/xは、0/0となってしまう。
これを不定形という。
ｘ→aのときの0/0の極限値を推定するためには、ｘにaを代入するのではなく、
aに近い小さな数を代入[plug]したときの分母と分子の比の値から推測できることがある。
これは収束が速いとき。
（例）
「x→5のときのf(x)=(ｘ2-25)/(x-5）の極限値」を推測すると？
x=5.0002を入れると、f(x)=10.0002。極限値は10と推測できるね。
（例)
「ｘ→6のとき、p(x)=(x2-5x-6）/sin(x-6)の極限値」を推測すると？
ｘ＝6.000003を入れると、p(x)=7.000002。極限値は７と推測できる。
（例）
「x→０のときのf(x)=(1/(x+4)-1/4)/xの極限値」を推測すると？
x=0.0001を入れるとf(x)=-0.0624998となり極限値は-1/16と推測できるね。
＜sinx/x→1＞
ｘ→0のときsinx/x→1
（理由1）
これは、教科書などによくみかける図形を使った説明ですよ。
１と１でサンドイッチして１にする作戦です。
角Aがx（ラジアン）で、AB=AC＝１の二等辺三角形ABCをかくと弧BC=ｘとなる。
ｘ＞０のとき、
角Aが共通でBが直角の直角三角形ABDをかく。
△ABCの面積<扇形の面積<△ABDの面積となるので、1/2・1・1sinx<1/2・1・x<1/2・1・tanx
式変形にようって、sinx/xは、cosxと１に挟まれる。そしてx→0のときのcosxの極限値＝1。
だから、挟み撃ちでx→0のときのsinx/xの極限値=1
ｘ＜０のときは、t=-xなどとおいて、式変形で証明できる。
（理由2）
テーラー展開を使うと、
sinx=x1/1!-x3/3!+x5/5!-x7/7!+.......
x→0のとき、
|sinx/x-1| <= |((x-x3/6+x5/120)/x-1|=|-x2/6+x4/120|<|x2/6|→0
また、
＜(1-cosx)/x2→1/2＞
ｘ→0のとき(1-cosx)/x2→1/2
（理由1）オイラー[Euler]はx=nzとおき、
（cosz+isinz)n=cosnz+ i sinnzを証明した。
これを利用することで、オイラー[Euler]は各種の級数展開を見つけた。
左辺を２項定理展開した実部cosnz=(cosz)n-nC2(cosz)n-2(sinz)2+nC4(cosz)n-4(sinz)4-......
ｘ=nzを一定にしたまま、nを∞にし、ｚを無限小にする。
cosz≒1, sinz≒z, n(n-1)≒n2,n(n-1)(n-2)(n-3)≒n4, だから、
cosnz=1- n2/2! １・z2+n4/4! 1 ・z4-.....
cosx = 1 - x2/2! + x4/4!- .....となる。
いわゆるテーラー展開,マクローリン展開を使うと、
cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+.......
x→0のとき、
|(1-cosx)/x2-1/2| <= |(1-(1-x2/2+x4/24))/x2-1/2|=|x2/24|<|→0
（理由2）
x→0のとき、
(1-cosx)/x2＝(1-cosx)(1+cosx)/(1+cosx)x2
＝(sinx/x)2・1/(1+cosx)→12・1/(1+1)=1/2
（理由3）
ロピタルの定理[l'Hopital's theorem]で、
商の微分ではないので注意。分母と分子をそれぞれ同じ回数微分しても、極限値は同じ。
lim ((1-cosx)/x2)=lim(sinx/2x)=1/2 lim(sinx/x)→１/2・1=1/2
＜tanx/x→1＞
x→0のとき、tanx/x→1
（理由）
x→0のとき、
tanx/x=(sinx/x)・1/cosx→1・1/1=1。
★eはどこ？？
２．指数・対数はeが主役
＜極限値の演算＞
和・差・定数倍・積・商の極限値は、極限値の和・差・定数倍・積・商で求められる。
ただし、商の場合は分母の極限値は０でない。
＜極限値がe＞
自然対数e＝2.718281828....は２つの関数の極限値として有名だ。
ｘ→∞のとき、（１＋１/x)x→e。
ｈ＝１/xとおくと、ｘ＝１/h。
ｘ→∞のとき、ｈ→０となり、そのとき、（１＋h)1/h→e
eを底とする指数関数はｙ＝ex。e0=1から(0,1)を通り、定義域ｘは全実数で値域ｙ＞０
その逆関数は、eを底とする対数関数でy=loge(x)。
（1,0）を通り、定義域はｘ＞０（真数条件）、値域は全実数。
eを省略したlogxと書いたり、lnxとかく。
＜eと極限＞
ｘ→０のとき、
ln(１＋ｘ）/ｘ→１
(ex-1)/x→１
（理由）
ｈ→０のとき、
ln(1+h)/h=1/h loge(1+h)=loge(1+h)1/h=logee→１。だから、ln(１＋ｘ）/x→1。
また、逆数も→１となるから、h/ln(１＋h）→1。
ｘ＝ln(1+h)とおくと、x=loge(1+h) だから、1+h=ex
ｘ→０のとき、h/ln(１＋h）＝（ex-1)/x→1。
＜極限値のリユース＞
有名な極限値を再利用できる形に式を変形したり、変数を変形してみよう。
・x→０のとき、
sinx/x→１、 (1-cosx)/x2→１/２,tanx/x→１、ln(１＋ｘ）/ｘ→１、(ex-1)/x→１
（１＋x)1/x→e
・ｘ→∞のとき、
（１＋１/x)x→e。
指数関数の導関数(ex)'=ex
h→0のとき、
d(ex)/dx=(f(x+h)-f(x))/h=（ex+h-ex）/h=ex・(eh-1)/h→ex･１＝ex
対数関数の導関数(logx)'=1/x（ｘ＞０）
h→0のとき、
d(logex)/dx=(f(x+h)-f(x))/h=（loge(x+h)-logex）/h=1/h･loge(x+h)/x＝1/h･loge(1+h/x)
=1/x･x/h･loge(1+h/x)=1/x･loge(1+h/x)x/h→1/x･1=1/x。
（例）
「ｘ→∞のとき、x/ex→０」の理由は？
x<2xから、x/ex＜２x/ex=(２/e)x→０だから、x/ex→０
（例）
「ｘ→∞のとき、logx/x→０」の理由は？
h=exとおくと、ｘ=loghとなる。x/ex→０からlogh/ｈ→0。
（例)
「ｘ→1のとき、(ｘ−１）/(√x-1)の極限値」は？
分母を有理化する。(ｘ−１）(√x+1)/(√x-1)(√x+1)=(√x+1)→１＋１＝２
（例)
「ｘ→０のとき、p(x)=(１−cosx）･tan2x/x3の極限値」は？
p(x)=(1-cosx)/x・tan2x/2x・2→1・１・２＝２
（例)
「ｘ→6のとき、p(x)=(x2-5x-6）/sin(x-6)の極限値」は？
h=x-6とおくと、ｘ2-5x-6=(x+1)(x-6)=(h+6)hだから、h→0のとき、 p(x)=(h+6)・h/sinh→7・１＝7
（例)
「ｘ→０のとき、p(x)=(ex+x−1)/sinxの極限値」は？
p(x)=(ex-1)/sinx+x/sinx=(ex-1)/x・x/sinx+x/sinx=→1・１+1＝２
（例)
「ｘ→∞のとき、p(x)=x(log(x+2)-logx)の極限値」は？
p(x)=x(log(１+2/x)=2(x/2)(log(１+1/(x/2))=2log(1+1/(x/2))(x/2)→2・logee＝２
３．関数の連続性
関数ｆ(ｘ）がx=aより小さい方からaに近づくときの極限値αを左極限値（LimitLeft)といい、
ｘ→aー0のときｆ(ｘ）→α。α＝ｆ(a-0)
関数ｆ(ｘ）がx=aより大きい方からaに近づくときの極限値βを右極限値（LimitRight)といい、
ｘ→a＋0のときｆ(ｘ）→β。β＝ｆ(a+0)
ｆ(a-0)=f(a+0)のとき、極限値が存在するという。
x→aのときf(x)→α＝β。
＜連続性＞
関数ｙ＝ｆ（ｘ）がｘ＝aで連続であることは、
ｘ＝aが定義域に入っているので、値f(a）が決まる。
ｙ＝ｆ（ｘ）はｘ→aのとき極限値αを持つ。
α＝ｆ（a)である。
関数ｙ＝ｆ（ｘ）がｘの定義域が開区間（a,ｂ）のすべての点ｘで連続ならば、
開区間(a,b)で関数は連続[continuous]だ。