Sinustransformationen | Didaktische Hinweise
Kurzinformationen
- Link zum Material für die Lernenden: https://www.geogebra.org/m/nuqvr6xv
- Kontext: Transformationen von Sinusfunktionen im Kontext von Tönen akustisch und visuell erkunden
- Einführungshase; Transformationen von Sinus-Funktionen, qualitative Perspektive
Leitgedanke zur Aktivität
Transformierte Sinus-Funktionen (auch sinoidale Funktionen) sind allgemein von der Bauart
mit
Für die Ausgangsfunktion gilt und . Das Variieren der einzelnen Parameter hat dabei unterschiedliche Auswirkungen auf die Eigenschaften der Funktion bzw. den Funktionsgraphen und kann darüber hinaus auch physikalisch interpretiert werden. Eine Änderung von bewirkt eine Streckung/Stauchung der Funktion in vertikaler Richtung. An jeder Stelle des Definitionsbereichs wird die Auslenkung der Schwingung mit dem gleichen Faktor multipliziert. Damit verändern sich insbesondere auch die Funktionswerte der Hoch- und Tiefpunkte. Physikalisch gesehen ändert sich bei Variation von die Amplitude. Dabei bleiben sowohl Null- als auch Extremstellen unverändert. Eine Veränderung von führt zur Streckung/Stauchung der Funktion in horizontaler Richtung (Änderung der Frequenz). Damit ändert sich die Amplitude nicht, aber die Position der Null- und Extremstellen (bis auf ). Die Variation von und haben eine Verschiebung der gesamten Funktion in horizontale (auch Phasenverschiebung) bzw. vertikale Richtung zur Folge; Amplitude und Frequenz ändern sich in diesem Fall nicht. Transformierte Sinus-Funktionen haben viele reale Anwendungfälle und sind aus fachlicher Sicht besonders dem Gebiet der harmonischen Analysis (Fourier-Analysis) zuzuordnen. Dabei geht es vereinfacht gesagt darum, periodische Vorgänge als (ggf. unendliche) Summe transformierter Sinus Funktionen zu beschreiben. Auf diese Weise können beispielsweise unterschiedliche Frequenzanteile einer Audioaufnahme bestimmt und analysiert werden. Da erfahrungsgemäß viele Lernende beim Transformieren von Funktionen Schwierigkeiten insb. mit der Unterscheidung zwischen Streckungen und Stauchungen in horizontaler und vertikaler Richtung haben, wird in dieser Lernumgebung bewusst eine qualitative Perspektive auf das Transformieren der Sinus-Funktion eingenommen und der Darstellungswechsel zwischen sprachlichen Beschreibungen und Funktionsgraphen fokussiert. Am Ende erarbeiten die Lernenden Strategien um die bei dem Graphen einer transformierten Sinus-Funktion die auftauchenden Transformationen korrekt identifizieren zu können.Vorwissen und Voraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler kennen ...
- den Funktionsgraphen der Sinus-Funktion
- Transformationen quadratischer Funktionen
Beiträge zum inhaltsbezogenen Kompetenzerwerb
Die Schülerinnen und Schüler ...
- ordnen gegebene Funktionsgraphen einfach-transformierter Sinus-Funktionen der jeweiligen Transformation zu, indem sie in der vorbereiteten GeoGebra-Umgebung versuchen mindestens 5 Punkte zu erreichen.
- begründen das Vorliegen einer bestimmten Transformation, indem sie die Merkmale des vorliegenden Funktionsgraphen mit den Merkmalen des Graphen von sin(x) vergleichen.
- verwenden digitale Werkzeuge zur:
- Darstellung und Untersuchung transformierter Sinus-Funktionen
Didaktische Hinweise
Im Anschluss an dieses GeoGebra-Buch kann dann eine quantitative Perspektive auf die Transformation der Sinus-Funktion eingenommen werden. Die Erkundungshandlungen zu den Tönen können dabei weiterhin als Refererenzen genutzt werden.
![[i]Einordnung der Lernumgebung "Wie FUNKTIONieren Töne? - Sinustransformationen" entsprechend der in [url=https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft]https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft[/url] vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.[/i]](https://www.geogebra.org/resource/fuvvxhk4/VXlaV49nMJ25GVc2/material-fuvvxhk4.png)
Vorstellung einzelner Aktivitäten
Anmerkung zu Aktivität 1 (Den Sinus hören?)
Direktlink: https://www.geogebra.org/m/uc8nfpxu
Wichtig ist, dass beim Erkundungsauftrag am Ende Aktivität sowohl auf die Veränderungen am Funktionsgraphen als auch auf die Veränderungen beim Ton eingegangen und beides miteinander in Beziehung gesetzt wird.
Anmerkung zu Aktivität 2 (Ein kleines Tonlabor mit GeoGebra)
Direktlink: https://www.geogebra.org/m/gsm6dgbu
In dieser Aktivität üben die Lernenden, eine von Parametern abhängige Funktion entsprechend verschiedener Vorgaben mit Schiebereglern in GeoGebra umzusetzen. Über die Überlegungen, wie a und b in der allgemeinen Funktionsvorschrift mit Frequenz und Amplitude zusammenhängen, werden außerdem erste Bezüge zwischen Transformation und Term hergestellt.
Anmerkung zur Exkursaktivität (Dreiklänge und Überlagerung)
Direktlink: https://www.geogebra.org/m/w9evdbxd
In dieser Aufgabe wird ein Exkurs zur Addition von Funktionen und der Fourier-Analyse angeboten. Der finale Arbeitsauftrag, mithilfe von GeoGebra einen Dreiklang zu dekonstruieren, bietet eine gute Möglichkeit zur Kompetenzvertiefung sowohl auf der inhaltlichen Ebene als auch auf der Werkzeugebene.
Anmerkung zu Aktivität 3 (Sinus-Transformationen am Graphen erkennen)
Direktlink: https://www.geogebra.org/m/mw2wywqq
In dieser abschließenden Aktivität löst sich der Lernpfad vom konkreten Ton-Kontext und nimmt allgemein die möglichen Transformationen der Sinus-Funktion aus qualitativer Perspektive in den Fokus. In der Praxis hat sich das im Material vorgeschlagene zweiteilige Vorgehen bewährt: Zunächst beschäftigen sich die Lernenden frei mit dem Spiel. In einem zweiten Durchlauf geht es dann darum, explizit Strategien zur Erkennung der vorliegenden Transformation zu reflektieren und zu verbalisieren.
Methodische Hinweise
Idealerweise wechseln sich GeoGebra-Aktivitäten und Unterricht ohne das Werkzeug GeoGebra ab. Die ganze Aktivität ist nicht als reiner Selbstlernpfad angelegt. Um die GeoGebra-Aktivitäten im Klassen-Setting einzusetzen, bietet es sich an, sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) zu realisieren.