１２．大小と級数展開
★sinxの有限近似は？
★cosxの有限近似は？
1．高次微分と級数展開
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
＜テーラー展開＞
・さて、n次多項式f(x)はf(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2 +a3(x-a)3+ …+ an(x-a)nの形に書くこともできはずだ。
これをｋ回微分する。ｋを0からｎまで実行してみよう。
(0回) f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2 +a3(x-a)3 …+ an(x-a)n
(1回）f'(x)= a1 +2a2(x -a)+3a3(x -a)2 + …+ nan(x-a)n-1
(2回）f''(x)= 2!a2 +3･2a3(x -a) + …+ n(n-1)an(x-a)n-2
(3回）f'''(x)= 3!a3(x -a) + …+ n(n-1)(n-2)an(x-a)n-3
..........
(n回）f(n)(x)= n!an
以上のｎ個の式でx=aとすると、f(a)=a0, f'(a)=a1, f''(a)=2!a2, f'''(a)=3!a,,........f(n)(a)=n!an。
これらのakをもとのn次多項式に代入すると、
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)2＋f'''(a)/3!・(x-a)3+......+f(n)(a)/n!(x-a)n
このように、
ｋ次項の係数をｋ階微分係数／ｋ！で表すことを多項式のテーラー展開[Talor expansion]という。
・テーラー展開を条件つきで一般の関数にも拡張できるとしたものがテーラーの定理[theoream]だ。
その特定の条件とは、
閉区間[a,b]で(ｎ-1)階導関数が連続で、開区間(a,b)でn回微分可能というもの。
テーラー展開のx=bとして、aとｂの間のｃで次を満たすものがある。
f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+f''(a)/2!・(b-a)2+......+f(n-1)(a)/(n-1)!(b-a)n-1+f(n)(c)/n!(b-a)n
これがテーラーの定理。
・さらに、ｂをｘに戻して変数化して、ｎ→∞とした級数和の極限近似式が作られる。
区間のスタート地点ｘ＝aはそのまま残っているね。
f(x)=∑∞f(k)(a)/k!・(x-a)k
＝f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)2+......+f(n-1)(a)/(n-1)!(x-a)n-1+Rn
(剰余項）Rn=f(n)(c)/n!(x-a)n(cはaとｘの間）
これを、テーラー級数[taylor series]という。
＜マクローリン展開＞
テーラーの定理で、b=a+h, (c-a) /(b-a )=θとすると、 b-a=h、c=a+hθ
f(a+h)=f(a)+f'(a)(h)+f''(a)/2!・h2+......+f(n-1)(a)/(n-1)!hn-1+f(n)(a+θh)/n!hn
となるね。
・さらに、a=0、h＝ｘとして、ｎ→∞とした級数和の極限近似式ができる。
f(x)=∑∞f(k)(0)/k!・xk
＝f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!・x2+......+f(n-1)(0)/(n-1)!xn-1+Rn
(剰余項）Rn=f(n)(θx)/n!xn(cは0とｘの間）
これを、マクローリン級数[Maclaurin series]という。
マクローリンの級数展開は、テーラー級数展開の区間のスタート地点がｘ＝aではなく、ｘ＝０に特殊化したものと考えられるね。（でも、この２人の級数展開は独立に発見されたものだと言われている。)
（例）
「ｆ(x)＝exとするとき、f(x)のマクローリン級数を利用してeの近似値を求める」と？
f(k)(x)=exだから、f(k)(0)=1。x=1とおくと、
f(x)=1 +x +x2/2! +x3/3! +....... +xn/n!+.......
1
1/1=1
1/2!=1/2=0.5
1/3!=0.5/3=0.16666666666666666
1/4!=0.16666666666666666/4=0.04166666666666666
1/5!=0.04166666666666666/5=0.008333333333333331
1/6!=0.00833333333333333/6=0.001388888888888888
1/7!=0.001388888888888888/7=0.00019841269841269831/8!=0.0001984126984126983/8=0.0000248015873015872
から、
e=f(1)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8!
=1+1+0.5+0.16666666666666666+0.04166666666666666+0.008333333333333331
+0.001388888888888888+0.0001984126984126983+0.0000248015873015872
=2.71827876984127
（例）
「f(x)=sinxとするとき、f(x)のマクローリン級数を利用した近似式」を作ると？
f(n)sinx=sin(x+n・π/2)から、微分回数がmod(n,k)＝0,1,2,3で、sin→cos→-sin→-cosをくり返す。
だから、f(n)(0)はmod(n,K)=0,1,2,3で、0→1→0→-1をくり返す。
f(x)=0+1x+x2/2!-x3/3!+.......+{0,1,0,-1}xn/n!+.......
sinx= x -x3/3! +x5/5! -x7/7!+...........+(-1)(n-1)x(2n-1)/(2n-1)!+......
このようにnに対して、±用にn-1を使い、指数と階乗用に2n-1を使うと、mod(n,k)の場合理由リストが不要になるね。
（例）
「f(x)=cosxとするとき、f(x)のマクローリン級数を利用した近似式」を作ると？
f(n)cosx=cos(x+n・π/2)から、微分回数がmod(n,k)＝0,1,2,3で、cos→-sin→-cos→sinをくり返す。
だから、f(n)(0)はmod(n,K)=0,1,2,3で、1→0→-1→0をくり返す。
cosｘのときの微分係数の周期は同じで、スタートが０でなく１になっただけだね。
f(x)=1+0x-1x2/2!+0x3/3!+.......+{1,0,-1,0}/n!xn+.......
cosx= 1 -x2/2! +x4/4! -x6/6!+...........+(-1)nx(2n)/(2n)!+......
（例）
「f(x)=log(1+x)とすると、f(x)のマクローリン級数を利用した近似式」を作ると？
f(k)log(1+x)は、k=0,1,2,3,...log(1+x)→1/(1+x)→-1/(1+x)2→1･2/(1+x)3....となる。
f(n)log(1+x)=(-1)(n-1)・(n-1)!/(1+x)n
だから、f(n)(0)は0→1→-1→2!→-3!.....となるから、
f(x)=0+1x-1x2/2!+2!x3/3!-3!x4/4!+4!x5/5!......+{1,-1}xn/n+.......
log(1+x)= x -x2/2 +x3/3 -x4/4+...........+(-1)(n-1)xn/n+......
２．極大・極小と利用
・導関数の０点が極大か極小の点になるので、範囲を限定すると最大・最小を求めることにつながります。
・関数と関数の大小関係は不等式の証明に使えます。
ｆ＞ｇを証明するためにはｈ（ｘ）＝ｆーｇがつねに正であることを証明すればよい。
だから、最小値が正であることが言えれば良い。
以上のようにグラフの概形、上下関係、極大極小などデータが、最大・最小、不等式の扱いに
役立つことは数学Ⅰ、Ⅱでも十分やっている。
＜複合関数方程式の解の個数＞
ここでは、
三角関数・対数関数・指数関数を組み合わせた複合方程式で、その解の個数を探りたい。
（例）
「ｘ＝ｋexの解の個数」は？
ｋについて解くと、k=f(x)=x・e-x
ｘ軸に平行な直線y=kと、曲線y=f(x)の交点の個数が解の個数になる。
f(0)=0で原点を通る。e-xは常に正だから、xが正なら正、ｘが負なら負になる。
f'=(1-x)e-x=0となるのはｘ＝１で、ｘが１未満なら正で増加、１より大で減少。だから、ｘ＝１で最大。
最大値はf(1)=1/e。
これから、ｋが１/eを超えると1個、ｋ＝１/eで1個。k>0で２個。kが０以下で１個。
（例）
「kex=sinx(xが０以上２π以下）の解の個数」は？
ｋについて解くと、k=f(x)=sinx・e-x
ｘ軸に平行な直線y=kと、曲線y=f(x)の交点の個数が解の個数になる。
f(0)=0で原点を通る。e-xは常に正だから、ｘが０からπまでsinxが正だから正、そのあとはゼロ以下。
f'(x)=cosx・e-x-sinx・e-x０=(cosx- sinx)・e-x
合成関数asinx+bcosx=ｎsin(x+p)のn,pは複素数(a,b)=(n；p)の極形式で出せるね。
(-1,1)=(√2；3π/4)から、
cosx-sinx=-sinx+cosx=√2sin(x+3π/4)＝0の解はx=π/4、5π/4で。この値で極値。
ｘが０からπ/4までは正で増加し、π/4で最大。f(π/4)=1/√2/eπ/4
ｘがπ/から5π/4までは負で減少し、5π/4で最小。f(5π/4)=-1/√2/e5π/4
ｘが5π/4から２πまでは正で増加。f(2π)=0