② 미분 가능한 곡선
평면 벡터 함수의 예시에서 확인한 바와 같이 일반적인 평면 벡터 함수는 불연속일 수 있다. 제품 디자인에서 활용되는 부드러운 곡선을 수학적으로 모델링 하기 위해 평면 곡선을 정의한다.
[정의 1] 평면 곡선
각 성분 함수 가 모두 연속인 평면 벡터 함수 를 연속이라고 하며, 연속 평면 벡터 함수 를 평면 곡선(plane curve)라고 한다.
[1-①]의 예시 1~3의 직선, 포물선, 원을 나타내는 평면 벡터 함수는 모두 각각의 성분 함수가 연속이므로 평면 곡선이다. 하지만 예시 4의 파선을 나타내는 평면 벡터 함수는 성분 함수가 연속함수가 아니므로 곡선이 아니다.
[예시 1]
평면 벡터 함수 는 각 성분 함수가 모두 연속함수이므로 평면 곡선이다.
위 예시처럼 뾰족한 점 없이 '부드러운' 곡선을 다루기에 평면 벡터 함수의 연속 조건만으로는 충분하지 않다. 따라서 자연스럽게 평면 벡터 함수의 미분을 고려할 수 있다. 평면 벡터 함수의 미분은 실숫값 함수의 미분과 동일한 방법으로 정의한다.
[정의 2] 미분 가능한 곡선
평면 곡선 의 각 성분 함수가 모두 미분 가능하면 를 미분 가능한 곡선이라고 한다.
평면 벡터 함수 를 미분 가능한 곡선 의 속도 벡터라 하고 속도 벡터의 크기 를 미분 가능한 곡선 의 속력이라고 한다.
[예시 2]
평면 곡선 는 각 성분 함수가 모두 미분 가능하므로 미분 가능한 곡선이며 속도 벡터는이다.
평면 벡터 함수를 이용해 평면 곡선을 정의할 때 하나의 도형이 다른 벡터 표현을 가질 수 있다는 점에 주의해야 한다. 예를 들어 단위원 은 와 로 나타낼 수 있다. 곡선의 식에서 변수 를 매개변수(parameter), 곡선을 매개화된 곡선(parameterized curve)이라고 한다. 같은 도형을 표현하는 곡선이라도 매개화된 곡선의 식이 다른 경우 그 속도벡터에 차이가 있을 수 있다.
[예시 3]
단위원 의 두 매개화된 곡선 와 에 대하여
이므로 와 의 속력은 각각 과 이다.
[문제 1]
단위원 의 매개화된 곡선 에 대하여 의 속력이 일 때, 단위원의 매개화된 곡선 중 의 반대 방향으로 회전하고 속력이 인 것을 구하시오.