E 03 Az elliptikus sikgeometria körmodellje
![[url=http://utisz-utisz.blogspot.com/]Orosz István[/url]: Bridges](https://www.geogebra.org/resource/bhawqspq/cVHpvnLZeNU1YXsM/material-bhawqspq.png)
Ezzel a talányos, gondolatébresztő képpel invitáljuk olvasóinkat ennek a komoly absztrakciót igénylő témának, az elliptikus síkgeometria körmodelljének - a továbbiakban E-modell - a megismeréséhez.
Mint ahogy eddig is tettük, az euklideszi geometriából jól ismert (alap)fogalmak meglétét, vagy éppen hiányát, és ezek következményeit fogjuk elemezni a kíváncsi rácsodálkozás igényével, de a teljességre való törekvés igénye nélkül.
Miben más, és miben ugyanolyan ..-
A geometria axiomatikus felépítéséről itt olvashattunk egy rövid áttekintést.
A nagyobb nyomaték kedvéért onnan ide másolunk egy fontos mondatot:
- A maradék axiómarendszerrel bizonyítható, hogy a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek nem metszik egymást, így tehát vannak egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek. Nevezzünk párhuzamosnak két egyenest, ha egy síkban vannak és nem metszők.
- Az elliptikus geometriában nincsenek egy síkben fekvő, egymást nem metsző egyenesek, azaz bármely két egyenesnek pontosan egy közös pontja van.
- bármely két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik;
- bármely két egyenesre egy és csakis egy pont illeszkedik; (vagyis bármely két egyenes metsző)
- egy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható. (ez a megfogalmazás Euklidesz második posztulátuma),
- az egyenes zárt, véges hosszúságú geometriai alakzat;
- bármely két derékszög egyenlő egymással;
- egy egyenes bármely három pontja közül egy közte van a másik kettőnek;
- egy egyenes két pontját nem választja el egymástól egy harmadik pont; (vagyis - épp úgy mint egy körre illeszkedő három pontra - nem értelmezhető a "közte van" fogalom, vagyis az "elválasztó pont" fogalma).
Az E -körmodell eljárásai
Az alábbi "Üres modell" címmel ellátott applet egyáltalán nem üres. A parancs-sor első ikonján látszik, hogy ott vannak rendre az E-modell saját eljárásai. Minden eddiginél határozottabban javasoljuk, hogy azok az olvasóink, akik önálló munkára szeretnék használni ezeket az eljárásokat, töltsék le a saját gépükre ezt az appletet, és ott próbáljanak megismerkedni a program lehetőségeivel. Ugyanis ezek egy része nehezem, vagy egyáltalán nem használhatók interakcióban. Erre mutatunk néhány példát.
- Vegyenek fel az E-modell eszköztárával két pontot. (Ezek neve A és B lesz, az átnevezésükre itt nincs lehetőség. Ezt a (zöld hátterű) ↦∙ jelre kattintva érhetik el. Ugyanis csak így tudtuk megoldani, az un. dinamikus koordináták felhasználásával, hogy amint a pontot vonszolva kiérünk az alapkörig, akkor a mozgatott pont "ugorjon át" a vele átellenes pont helyére. Próbáljuk ki. Az algebra ablakban olvasható definíciójából látható, hogy A és B dinamikus pont, így van "alattuk" egy-egy másik -nem látható - pont, amelyek a látható és alkalmasint "átugró" pontok mozgását vezérlik. Ezért, ha pl. letörölnénk ezeket a pontokat, a mögöttük lévő segédalakzatok ott maradnak.
- Vegyük fel az ikonjára, majd a két felvett pontra kattintva az általuk meghatározott c E-egyenest. Ugyanezt megtehetjük úgy is, hogy a parancs-sorba beírjuk a c=EE(A,B) parancsot. A GeoGebra egy újonnan felvett alakzatot - pl. a c kört - az addigi alakzatok feletti rétegbe teszi, így hiába takartuk ki a számunkra nem szükséges, sőt zavaró részt. Ezt a parancs-sorba beírt Réteg(c,0) paranccsal tudjuk áthelyezni a legalsó rétegbe, amelynek az alapkörön kívüli része így már letakarható.
E 03 01 Az üres modell
Az E-körmodell saját eljárásai
Az E-eljárások egy alkamazása:
Az elliptikus geometria félgömb-modellje és a körmodellje közötti kapcsolatot jószerével egyetlen példán keresztül mutattuk be. A feladatot megismételve most azt nem a féltér-modell vetítésével, hanem a fenti körmodell eljárásainak az alkalmazásával fogjuk szemléltetni.
A feladat:
- Legyen adott az E-síkon az A és B pont. Szerkesszük meg - az AB E-egyenest; - az A középpontú B pontra illeszkedő kört; - végül figyeljük meg az így kapott alakzatokra illesztett pontok mozgását!
- ha mind az E-egyenes, mind az E-kör láthatóságát bekapcsoljuk, akkor a két alakzat - nem meglepő módon - merőleges lesz egymásra;
- ha az A ill. B pontot úgy mozgatjuk, hogy az E-körnek van két közös pontja a modell alapkörével, akkor "látjuk" úgy, hogy a kör két részre esik szét. A rajta mozgó pont ilyenkor is bejárja a kört.;
- ha az az A illl. B pontokat úgy választjuk meg, hogy a két két "látszólagosan különböző rész" essen egybe, akkor a kör egyenessé fajul, amely átmegy az (A,B) E-egyenes pólusán.
Persze ennél lassabban, körültekintőbben lenne célszerű haladnunk. Ezt fogjuk tenni.