Egy probléma az Arany Dániel ... (27.)
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
A probléma:
Egy kört az AB átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a C és D pontokat. Legyen az AC és BD egyenesek metszéspontja P, az AD és BC egyeneseké pedig Q! Mekkora szöget zár be a PQ egyenes az AB átmérővel?
Az Euklideszi geometriában:
Ezzel az aplettel (is) eljuthatunk a sejtéshez:
A vizsgált szög derékszög.
A bizonyítás megtalálásában is segítséget is kaphatunk innen.
A Thalész-tétel miatt: . Ebből következően Q az magasságpontja. Ebből következően a QP egyenes az magasságegyenese, így a PQ egyenes merőleges az AB egyenesre.
Tekintettel arra, hogy a másik két geometriában nem igaz a Thalész-tétel, érdemes megnézni, hogy a problémában vizsgát szög mekkora a modelljeinkben.
A hiperbolikus geometriában:
Úgy látszik, hogy ha a Q és P metszéspontok léteznek, akkor a vizsgált szög itt is derékszög.
A gömbi geometriában:
Úgy tűnik, hogy a vizsgált szög itt is derékszög.
Tekintettel arra, hogy a sejtés igaznak bizonyult mindkét nemeuklideszi geometriában, gondolhatjuk azt, hogy létezik egy olyan bizonyítás, ami nem használja a párhuzamossági axiómát vagy annak következményét. (Nem lenne rossz rálelni erre a bizonyításra.)
Az ilyen tételeket abszolút geometriai tételeknek hívjuk.